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Hallo ich habe mal eine wichtige Frage.
Aus der Matrix [mm] A=\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & -1 }
[/mm]
erhalte ich das charakteristische polynom [mm] -x^3+x^2+x-1
[/mm]
Eigenwerte sind ja nun die Nullstellen. Als Nullstelle erhalte ich durch einsetzen in dieses Polynom 3. Grades -1 und 1 Woher weiß ich nun schon, welchen Wert ich für meine Polynomdivision verwende. Gut dieses Problem geht wahrscheinlich eher in die Analysis. Gehört aber zum Thema LinA  .
Danke schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge135.
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> Aus der Matrix [mm]A=\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & -1 }[/mm]
Hallo,
mit der Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms tut man sich oftmals leichter, wenn man nicht blindlings die Klammern von det (A-xE) auflöst.
Probier's für diese Matrix mal aus.
>
> erhalte ich das charakteristische polynom [mm]-x^3+x^2+x-1[/mm]
>
> Eigenwerte sind ja nun die Nullstellen. Als Nullstelle
> erhalte ich durch einsetzen in dieses Polynom 3. Grades -1
> und 1
Ja.
> Woher weiß ich nun schon, welchen Wert ich für meine
> Polynomdivision verwende.
Mit welchen Ziel möchtest Du jetzt eine Polynomdivision machen? Um den dritten Linearfaktor zu finden?
In diesem Fall dividiere durch [mm] (x-1)(x-(-1))=(x-1)(x+1)=x^2-1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Achso... Dann müsste ich also meine polynomdivision für [mm] \bruch{-x^3+x^2+x-1}{x^2-1} [/mm] durchführen um den letzten Eigenwert zu finden.
ich hatte auch hier immer das Vorzeichen geändert. Wie bei nur einer nullstelle üblich. War aber nicht erforfderlich.
Am Ende erhalte ich folgende (Das soll nun meine letzte Frage sein) Eigenräume:
zu -1 erhalte ich
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
zu 1 erhalte ich
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
nun will ich gucken, ob Diagonalisierbar. Anstatt blöd zu rechnen und Zeit zu verschwenden, kann ich ja einfach gukcen, ob algebraische=geometrische Vielafchheit. Die Matrix hat nur eine Zeile verschieden vom Nullvektor. Kann ich nun sagen geometrische Vielfachheit 1?
Eigenwert 1 hat algebraische Vielfachheit 2 und geometrische müsste ja dann auch 2 sein für beide Eigenwerte.
algebraische für -1 ist 1, da dieser EIgenwert nur einmal vorkommt. Ich kann noch nicht so richtig mit der geometrischen Vielfachheit argumentieren. Dazu muss ich ja den Eigenraum von -1 auf lineare abhängig oder unabhängigkeit überprüfen.
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> Am Ende erhalte ich folgende (Das soll nun meine letzte
> Frage sein) Eigenräume:
> zu -1 erhalte ich
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> zu 1 erhalte ich
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> nun will ich gucken, ob Diagonalisierbar. Anstatt blöd zu
> rechnen und Zeit zu verschwenden, kann ich ja einfach
> gukcen, ob algebraische=geometrische Vielafchheit.
Ja.
Du hast ja inzwischen das charakteristische Polynom in Linearfaktoren vorlegen [mm] X(A)=-(1-x)^2(1+x).
[/mm]
Also ist 2 die algebraische Vielfachheit von 1 und
1 die algebraische Vielfachheit von -1.
Du hast oben schon die Dimension der Eigenräume, also die geometrische Vielfachheit, berechnet.
Geometrische Vielfachheit von -1: 1
Geometrische Vielfachheit von 1: 2.
Also geometr. = algebr. Vielfachheit, also diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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