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| Aufgabe | | Betrachte [mm] \IR^n [/mm] mit dem Standard Skalarprodukt. Welche Zahlen können als Eigenwerte eines orthogonalen Endomorphismus von [mm] \IR^n [/mm] auftreten? |
Hi,
hab bei der obigen Aufgabe leider Probleme auf ein Ergebnis zu kommen...Ich weiß zwar wie man Eigenwerte berechnet und auch was ein orthogonaler Endomorphismus ist, aber irgendwie ist mir der Zusammenhang wohl nicht ganz klar...bisher hab ich die Eigenwerte auch immer nur von Matrizen berechnet, deswegen verwirrt mich das gerade irgendwie :-(
Vielen Dank...
Viele Grüße
Noki
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 01.10.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
orhtogonale Matrizen erhalten sowohl die länge von Vektoren als auch den Winkel zwischen Vektoren also:
[mm] \parallel [/mm] Qx [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
(Qx.Qy) = (x.y)
der betrag der determinate ist deshalb 1 somit gilt für jeden Eigenwert
| [mm] \lambda [/mm] | = 1
es gibt also die Eignewerte -1 und 1
gruß
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Hi!
Danke für die Antwort...
Hab das jetzt mal mit ner orthogonalen Matrix ausprobiert...
[mm] A=1/\wurzel{2}\pmat{1&-1\\1&1}...die [/mm] Determinante ist wirklich 1, allerdings ist mein Eigenwert [mm] \wurzel{2}/2...Hab [/mm] ich da jetzt irgendetwas falsch verstanden:-S ?
Viele Grüße
Noki
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> Hab das jetzt mal mit ner orthogonalen Matrix
> ausprobiert...
Hallo,
das ist 'ne richtig gute Idee!
> [mm]A=1/\wurzel{2}\pmat{1&-1\\1&1}...die[/mm] Determinante ist
> wirklich 1, allerdings ist mein Eigenwert
> [mm]\wurzel{2}/2...Hab[/mm] ich da jetzt irgendetwas falsch
> verstanden:-S ?
Auf jeden Fall etwas falsch gerechnet: die hat gar keinen reellen Eigenwert.
Und die Aussage, die Du zeigen sollst, verspricht Dir ja nicht, daß orthogonale Matrizen immer einen Eigenwert haben.
Gruß v. Angela
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