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| Aufgabe | Im Beispiel: Der Automorphismen f: (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (2x,3y) von [mm] \IR^{2} [/mm] hat den Eigenwert 2 mit Eigenvektoren (x,0), x [mm] \not= [/mm] 0, da f(x,0)=(2x,0)=2(x,0) ist für alle x [mm] \in \IR*, [/mm] und überdies den Eigenwert 3 mit Eigenvektoren (0,y)=(0,3y)=3*(0,y) ist für alle y [mm] \in \IR*. [/mm] Bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] wird f dargestllt durch die Diagonalmatrix [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 0 }. [/mm]
nun ist die Frage warum x [mm] \not= [/mm] 0 sein darf?
(1)...weil f(x,0)=2*(x,0)=0 ist für x=0
(2)...weil f(x,0)=2*(x,0) ist für alle x [mm] \not= [/mm] 0
(3)... weil wegen f(x,0)=2(x,0)=0 der Vektor (x,0) für x=0 nicht Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist sondern zum Eigenwert 0
(4)...weil der Vektor (x,0) für x=0 nicht zugelassen ist als Eigenvektor |
Hallo
ich weiß nicht ob ich mir diese Aufgabe zu einfach mache aber denke mal schon:
die erste Aussage würde ich als richtig bezeichnen wollen. wobei ich mir nicht sicher bin ob der letzte Schriit dann 2*(x,0)=(0,0) lauten müsste aber das wäre ja nur reine Form Sache. Tatsache ist ja wenn man für x 0 einsetzten würde würde man den Nullvektor als Eigenvektor zum Eigenwert 2 erhalten und das darf nicht sein
Aussage 2 ist doch schon nach Definition des Beispiels richtig oder?
Aussage 3 ist falsch denn f(x,0) bestimmt lediglich den Eigenvektor und nicht den Eigenwert und somit kann der Nullvektor nicht plötzlich einem ganz andern Eigenwert zu geordnet werden.
Aussage 4 ist wieder war, weil der Nullvektor niemals der Eigenvektor eines Eigenwertes seind arf, weil man sich sonst irgendwo verechnet hat  ...ich weiß nicht wie ich es anders ausdrücken soll...
und amche ich es mir mit meinen Überlegungen hier zu leicht?
LG Schmetterfee
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Hallo!
> Im Beispiel: Der Automorphismen f: (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (2x,3y)
> von [mm]\IR^{2}[/mm] hat den Eigenwert 2 mit Eigenvektoren (x,0), x
> [mm]\not=[/mm] 0, da f(x,0)=(2x,0)=2(x,0) ist für alle x [mm]\in \IR*,[/mm]
> und überdies den Eigenwert 3 mit Eigenvektoren
> (0,y)=(0,3y)=3*(0,y) ist für alle y [mm]\in \IR*.[/mm] Bezüglich
> der kanonischen Basis des [mm]\IR^{2}[/mm] wird f dargestllt durch
> die Diagonalmatrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 0 }.[/mm]
> nun ist die Frage warum x [mm]\not=[/mm] 0 sein darf?
> (1)...weil f(x,0)=2*(x,0)=0 ist für x=0
> (2)...weil f(x,0)=2*(x,0) ist für alle x [mm]\not=[/mm] 0
> (3)... weil wegen f(x,0)=2(x,0)=0 der Vektor (x,0) für
> x=0 nicht Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist sondern zum
> Eigenwert 0
> (4)...weil der Vektor (x,0) für x=0 nicht zugelassen ist
> als Eigenvektor
Diese Aufgabe finde ich sehr komisch.
Wie genau ist die Fragestellung? "ist die Frage warum x [mm]\not=[/mm] 0 sein darf" ... Bedeutet das:
"Warum darf [mm] $x\not= [/mm] 0$ sein?" - ist das die Frage?
> die erste Aussage würde ich als richtig bezeichnen
> wollen.
Die Aussage stimmt insofern, dass natürlich f(x,0) = 0 für x = 0.
Der Zwischenschritt, der gemacht wurde, also
f(x,0) = 2*(x,0) = 0
sieht aber so aus, als wöllte man benutzen, dass (x,0) Eigenvektor von f ist.
Diese Aussage darf man aber nicht benutzen, wenn x = 0. (Weil (0,0) eben gerade kein Eigenvektor von f ist).
Das ist aber meinerseits spekuliert - es könnte genausogut folgendermaßen umgeformt worden sein:
f(x,0) = (2*x,0) = 2*(x,0) = (0,0), falls x = 0.
verstehst du den feinen Unterschied?
> wobei ich mir nicht sicher bin ob der letzte
> Schriit dann 2*(x,0)=(0,0) lauten müsste aber das wäre ja
> nur reine Form Sache. Tatsache ist ja wenn man für x 0
> einsetzten würde würde man den Nullvektor als Eigenvektor
> zum Eigenwert 2 erhalten und das darf nicht sein
Ja. Wie ich oben beschrieben habe.
> Aussage 2 ist doch schon nach Definition des Beispiels
> richtig oder?
Die Aussage
f(x,0)=2*(x,0) ist für alle x [mm]\not=[/mm] 0
ist richtig. Ich kann allerdings überhaupt nichts damit anfangen, was das mit der Ausgangsfrage "Warum darf [mm] $x\not= [/mm] 0$ sein?" (???) zu tun hat.
--> Ich werde die folgenden zwei Aussagen nur noch unter dem Aspekt kontrollieren, ob sie ohne "weil" einfach als Aussage richtig sind.
> Aussage 3 ist falsch denn f(x,0) bestimmt lediglich den
> Eigenvektor und nicht den Eigenwert und somit kann der
> Nullvektor nicht plötzlich einem ganz andern Eigenwert zu
> geordnet werden.
Nicht so ganz.
Wir reden hier gerade davon, ob (0,0) Eigenvektor ist (das wurde nur schon wieder versteckt durch (x,0) und x = 0.
(0,0) kann kein Eigenvektor sein, auch nicht zum Eigenwert 0!
> Aussage 4 ist wieder war, weil der Nullvektor niemals der
> Eigenvektor eines Eigenwertes seind arf, weil man sich
> sonst irgendwo verechnet hat ...ich weiß nicht wie ich
> es anders ausdrücken soll...
Ein Eigenvektor ist PER DEFINITION ein Vektor ungleich dem Nullvektor.
Insofern stimmt die Aussage.
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
>
> > Im Beispiel: Der Automorphismen f: (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (2x,3y)
> > von [mm]\IR^{2}[/mm] hat den Eigenwert 2 mit Eigenvektoren (x,0), x
> > [mm]\not=[/mm] 0, da f(x,0)=(2x,0)=2(x,0) ist für alle x [mm]\in \IR*,[/mm]
> > und überdies den Eigenwert 3 mit Eigenvektoren
> > (0,y)=(0,3y)=3*(0,y) ist für alle y [mm]\in \IR*.[/mm] Bezüglich
> > der kanonischen Basis des [mm]\IR^{2}[/mm] wird f dargestllt durch
> > die Diagonalmatrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 0 }.[/mm]
> > nun ist die Frage warum x [mm]\not=[/mm] 0 sein darf?
> > (1)...weil f(x,0)=2*(x,0)=0 ist für x=0
> > (2)...weil f(x,0)=2*(x,0) ist für alle x [mm]\not=[/mm] 0
> > (3)... weil wegen f(x,0)=2(x,0)=0 der Vektor (x,0) für
> > x=0 nicht Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist sondern zum
> > Eigenwert 0
> > (4)...weil der Vektor (x,0) für x=0 nicht zugelassen
> ist
> > als Eigenvektor
>
>
> Diese Aufgabe finde ich sehr komisch.
> Wie genau ist die Fragestellung? "ist die Frage warum x
> [mm]\not=[/mm] 0 sein darf" ... Bedeutet das:
> "Warum darf [mm]x\not= 0[/mm] sein?" - ist das die Frage?
oh ich war da wohl in gedanken wo anders..sorry :-( da steht im Beispiel muss [mm] x\not= [/mm] 0 sein, ...
wir suchen also nach ner Begründung warum [mm] x\not= [/mm] 0 in diesem Fall sein muss...sind in betracht dieser Fragestellung meine Überlegungen richtig?.
>
> > die erste Aussage würde ich als richtig bezeichnen
> > wollen.
>
> Die Aussage stimmt insofern, dass natürlich f(x,0) = 0
> für x = 0.
> Der Zwischenschritt, der gemacht wurde, also
>
> f(x,0) = 2*(x,0) = 0
>
> sieht aber so aus, als wöllte man benutzen, dass (x,0)
> Eigenvektor von f ist.
> Diese Aussage darf man aber nicht benutzen, wenn x = 0.
> (Weil (0,0) eben gerade kein Eigenvektor von f ist).
>
> Das ist aber meinerseits spekuliert - es könnte genausogut
> folgendermaßen umgeformt worden sein:
>
> f(x,0) = (2*x,0) = 2*(x,0) = (0,0), falls x = 0.
>
> verstehst du den feinen Unterschied?
>
> > wobei ich mir nicht sicher bin ob der letzte
> > Schriit dann 2*(x,0)=(0,0) lauten müsste aber das wäre
> ja
> > nur reine Form Sache. Tatsache ist ja wenn man für x 0
> > einsetzten würde würde man den Nullvektor als Eigenvektor
> > zum Eigenwert 2 erhalten und das darf nicht sein
>
> Ja. Wie ich oben beschrieben habe.
>
>
> > Aussage 2 ist doch schon nach Definition des Beispiels
> > richtig oder?
>
> Die Aussage
>
> f(x,0)=2*(x,0) ist für alle x [mm]\not=[/mm] 0
>
> ist richtig. Ich kann allerdings überhaupt nichts damit
> anfangen, was das mit der Ausgangsfrage "Warum darf [mm]x\not= 0[/mm]
> sein?" (???) zu tun hat.
>
> --> Ich werde die folgenden zwei Aussagen nur noch unter
> dem Aspekt kontrollieren, ob sie ohne "weil" einfach als
> Aussage richtig sind.
>
> > Aussage 3 ist falsch denn f(x,0) bestimmt lediglich den
> > Eigenvektor und nicht den Eigenwert und somit kann der
> > Nullvektor nicht plötzlich einem ganz andern Eigenwert zu
> > geordnet werden.
>
> Nicht so ganz.
> Wir reden hier gerade davon, ob (0,0) Eigenvektor ist (das
> wurde nur schon wieder versteckt durch (x,0) und x = 0.
> (0,0) kann kein Eigenvektor sein, auch nicht zum Eigenwert
> 0!
>
> > Aussage 4 ist wieder war, weil der Nullvektor niemals der
> > Eigenvektor eines Eigenwertes seind arf, weil man sich
> > sonst irgendwo verechnet hat ...ich weiß nicht wie ich
> > es anders ausdrücken soll...
>
> Ein Eigenvektor ist PER DEFINITION ein Vektor ungleich dem
> Nullvektor.
> Insofern stimmt die Aussage.
>
noch mal entschuldigung wegen der Verwirrung.
LG Schmetterfee
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Hallo,
meine Aussagen bleiben ja prinzipiell die gleichen.
Eine Begründung, warum [mm] x\not= [/mm] 0 gelten muss, liefert aber nur Aussage 4 in meinen Augen.
Grüße,
Stefan
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Ja das 4 aufjedenfall richtig ist sehe ich ja auch so.
aber müsste aussage 1 nicht auch richtig sein?...weil für x=0 würde ja der Nullvektor raus kommen und das darf ja nicht sein. also müsste das doch auch eine Begründung dafür sein das [mm] x\not= [/mm] 0 sein muss oder?
und die zweite aussage stimmt doch auch denn laut dem Beispiel ist es ja für alle x [mm] \not= [/mm] 0 definiert. wenn jetzt x aber 0 wäre wäre es ja nicht definert aber reicht diese Tatsache alleine aus um zu sagen dass [mm] x\not= [/mm] 0 sein muss? wohl eher nicht oder?
naja und das die dritte aussage falsch ist daran gibt es ja nix zu diskutieren.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> aber müsste aussage 1 nicht auch richtig sein?...weil für
> x=0 würde ja der Nullvektor raus kommen und das darf ja
> nicht sein.
Dann weißt du einfach nicht, was eine lineare Abbildung ist - das ist bei allen linearen Abbildungen so ...
> also müsste das doch auch eine Begründung
> dafür sein das [mm]x\not=[/mm] 0 sein muss oder?
Nein. Nur wäre der Nullvektor eben EV zu jedem erdenklichen EW - deswegen nimmt man ihn raus.
> und die zweite aussage stimmt doch auch denn laut dem
> Beispiel ist es ja für alle x [mm]\not=[/mm] 0 definiert. wenn
> jetzt x aber 0 wäre wäre es ja nicht definert aber reicht
Kompletter Unsinn! Natürlich ist die Abbildung für den Nullvektor definiert.
> diese Tatsache alleine aus um zu sagen dass [mm]x\not=[/mm] 0 sein
> muss? wohl eher nicht oder?
Natürlich nicht.
SEcki
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Ich weiß schon was eine lineare Abbildung ist. Es verwirrt mich nur mit den ersten beiden Aussagen weil die laut Beispiel wahr sind und ich mir nur nicht sicher war ob sie nachsichziehen das x [mm] \not= [/mm] 0 ist..aber danke für die Erklärung
LG Schmetterfee
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