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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eigenwerte
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Fr 10.09.2010
Autor: Denny22

Hallo an alle,

kurze Frage: Sei [mm] $B\in\IR^{m\times m}$ [/mm] eine quadratische, reelle, positiv definite Matrix, wobei [mm] $m\in\IN$. [/mm] Weiter seien [mm] $0\neq c\in\IR$ [/mm] und [mm] $n\in\IZ$ [/mm] beliebig. $i$ kennzeichne die imaginaere Einheit. Betrachte die Matrix

     [mm] $A_n:=-B-icn$ [/mm]

1. Welche Aussagen lassen sich ueber die Eigenwerte der folgenden Matrix fuer festes $n$ treffen?
2. Wie verhalten sich die Eigenwerte, wenn ich $n$ veraendere?
3. Laesst sich fuer die Eigenwerte eine (allgemeine) Darstellung angeben?

Randbemerkung: Die Matrix B ist die Jacobi-Matrix einer Funktion [mm] $f:\IR^m\rightarrow\IR^m$ [/mm] ausgewertet an einer Stelle [mm] $x_0\in\IR^m$. [/mm]

4. Welche Bedingung koennte ich an $B$ stellen, um weitere bzw. ueberhaupt Aussagen ueber die Eigenwerte von [mm] $A_n$ [/mm] treffen zu koennen?

Vielen Dank

        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Sa 11.09.2010
Autor: felixf

Moin!

> kurze Frage: Sei [mm]B\in\IR^{m\times m}[/mm] eine quadratische,
> reelle, positiv definite Matrix, wobei [mm]m\in\IN[/mm]. Weiter
> seien [mm]0\neq c\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IZ[/mm] beliebig. [mm]i[/mm] kennzeichne die
> imaginaere Einheit. Betrachte die Matrix
>  
> [mm]A_n:=-B-icn[/mm]
>  
> 1. Welche Aussagen lassen sich ueber die Eigenwerte der
> folgenden Matrix fuer festes [mm]n[/mm] treffen?

Wenn du die Eigenwerte von $B$ kennst, kannst du sie von [mm] $A_n$ [/mm] fuer jedes $n$ direkt hinschreiben. Ebenso die Eigenraeume und Hauptraeume.

>  2. Wie verhalten sich die Eigenwerte, wenn ich [mm]n[/mm]
> veraendere?

Sie aendern sich brav mit :)

Du kannst einfach nachrechnen: ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein EW von $B$ mit Eigenvektor $v$, so ist $v$ ein Eigenvektor von [mm] $A_n$ [/mm] bzgl. dem Eigenwert [mm] $-\lambda [/mm] - i c n$.

>  3. Laesst sich fuer die Eigenwerte eine (allgemeine)
> Darstellung angeben?

In Bezug auf die von $B$? Ja.

> Randbemerkung: Die Matrix B ist die Jacobi-Matrix einer
> Funktion [mm]f:\IR^m\rightarrow\IR^m[/mm] ausgewertet an einer
> Stelle [mm]x_0\in\IR^m[/mm].
>  
> 4. Welche Bedingung koennte ich an [mm]B[/mm] stellen, um weitere
> bzw. ueberhaupt Aussagen ueber die Eigenwerte von [mm]A_n[/mm]
> treffen zu koennen?

Das haengt von den Aussagen ab, die du treffen willst.

Ist die Matrix $B$ etwa symmetrisch, so hat fuer $n [mm] \neq [/mm] 0$ die Matrix [mm] $A_n$ [/mm] keine reellen Eigenwerte.

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:00 Sa 11.09.2010
Autor: Denny22

Moin,

super. Vielen Dank. Das sollte mir schon einmal weiterhelfen.

Alles Gute
Denny

Bezug
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