Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 16.11.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Wie berechne ich die Eigenwerte der Matrix [mm] (A)_{ij}=(-1)^{ij} [/mm] mit A [mm] \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) [/mm] und n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] fixiert? |
Hallo,
Die Matrix hat eine "schachbrettartige" Anordnung. Da det(A)=0 für n > 2 ist gibt es auch einen Eigenwert der 0 ist.
Für n=1: A=-1
Im Grundgenommen bräuchte ich nur die Information herausfinden ob es [Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen gibt] ODER ob [alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0 oder [mm] \le [/mm] 0 sind].
Hilfe, würde mich sehr freuen.
LG,
Sissi
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Hallo,
ohne Gewähr und Beweiskraft:
ich habe eben einfach experimentiert und herausgefunden:
0 ist (n-1)-facher Eigenwert und -n einfacher.
LG Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:56 Do 17.11.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
Ja das habe ich auch herausgefunden mittels Ausprobieren, frage mich aber wie ich die Behauptung verifizieren kann..bei sowas scheint mir ja Induktion eventuell der richtige Weg.. wenn der Induktionsschritt nur hinhauen würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 19.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Do 17.11.2016 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich meine, so koennte es was werden. Setze [mm] $\mathbf{a}_n=(1,-1,\dots,(-1)^{n+1})'$. [/mm] Dann laesst sich die Matrix schreiben als auesseres Produkt [mm] $\mathbf{a}_n$\mathbf{a}_n'$. [/mm] Folglich ist sie symmetrisch und positiv-semidefinit. Wenn ich mich nicht vertan habe, kann man nun die Eigenwerte [mm] $n,0,0,\dots,0$ [/mm] schnell herleiten ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mo 21.11.2016 | | Autor: | sissile |
danke, die Aufgabe konnte ich nun lösen.
LG, Sissi
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