Eigenwerte DGL < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Fr 11.11.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Eigenwertproblems
[mm] y''+4y'+6y=-\lambda [/mm] y
[mm] y(0)=y(\pi)=0 [/mm] |
Also ich müsste doch als erstes ein Fundamentalsystem aufstellen. Dies hätte doch die allgemeinen Lösungen:
[mm] a_{1}=e^{x}cos(x) [/mm]
[mm] a_{2}=e^{x}sin(x)
[/mm]
Doch wie komm ich nun auf die Eigenwerte? Da häng ich.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen des
> Eigenwertproblems
>
> [mm]y''+4y'+6y=-\lambda[/mm] y
>
> [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm]
> Also ich müsste doch als erstes ein Fundamentalsystem
> aufstellen. Dies hätte doch die allgemeinen Lösungen:
>
> [mm]a_{1}=e^{x}cos(x)[/mm]
> [mm]a_{2}=e^{x}sin(x)[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ?????
>
> Doch wie komm ich nun auf die Eigenwerte? Da häng ich.
Betrachte die Randwertaufgabe:
(1) $ [mm] y''+4y'+(6+\lambda)y=0 [/mm] $
(2) $ [mm] y(0)=y(\pi)=0 [/mm] $
[mm] \lambda [/mm] heißt Eigenwert des Problems (1), (2) [mm] \gdw [/mm] es gibt eine Funktion y [mm] \ne [/mm] 0, die (1) und (2) erfüllt.
In diesem Fall heißt y eine zugeh. Eigenfunktion.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Fr 11.11.2011 | | Autor: | engels |
Also ich hab mir das nochmal angesehen und mein Fundamentalsystem war natürlich quatsch.
Ich muss dabei doch eine Fallunterscheidung machen oder? Ich hab bisher folgendes:
[mm] \lambda [/mm] < -2:
[mm] y_{1}=c_{1}e^{(-2+\wurzel{-2-\lambda})x}
[/mm]
[mm] y_{2}=c_{2}e^{(-2-\wurzel{-2-\lambda})x}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -2:
[mm] y_{1}=c_{1}xe^{-2x}
[/mm]
[mm] y_{2}=c_{2}e^{-2x}
[/mm]
Aus den Randwerten [mm] y(0)=y(\pi)=0 [/mm] kann man doch erkennen, dass im ersten Fall [mm] c_{1}=c_{2}=0 [/mm] und im zweiten Fall [mm] c_{2}=0 [/mm] sein muss oder?
Da die e-Funktion ja nicht null werden kann.
Damit kann es in diesem Fall auch keine Lösung des Problems außer y=0 geben, oder?
Daher müsste ich mir doch nur den Fall [mm] \lambda [/mm] > -2 ansehen. Dafür habe ich den allgemeinen Lösungen:
[mm] y_{1}=e^{-2x}(c_{1}*sin(\wurzel{2+\lambda}x))
[/mm]
[mm] y_{2}=e^{-2x}(c_{2}*cos(\wurzel{2+\lambda}x))
[/mm]
Dies ist doch der einzige Fall, denn ich dann noch betrachten müsste oder?
|
|
|
| |
|
Hallo engels,
> Also ich hab mir das nochmal angesehen und mein
> Fundamentalsystem war natürlich quatsch.
>
> Ich muss dabei doch eine Fallunterscheidung machen oder?
> Ich hab bisher folgendes:
>
> [mm]\lambda[/mm] < -2:
> [mm]y_{1}=c_{1}e^{(-2+\wurzel{-2-\lambda})x}[/mm]
> [mm]y_{2}=c_{2}e^{(-2-\wurzel{-2-\lambda})x}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = -2:
> [mm]y_{1}=c_{1}xe^{-2x}[/mm]
> [mm]y_{2}=c_{2}e^{-2x}[/mm]
>
> Aus den Randwerten [mm]y(0)=y(\pi)=0[/mm] kann man doch erkennen,
> dass im ersten Fall [mm]c_{1}=c_{2}=0[/mm] und im zweiten Fall
> [mm]c_{2}=0[/mm] sein muss oder?
Richtig.
> Da die e-Funktion ja nicht null werden kann.
>
> Damit kann es in diesem Fall auch keine Lösung des
> Problems außer y=0 geben, oder?
>
Ja.
> Daher müsste ich mir doch nur den Fall [mm]\lambda[/mm] > -2
> ansehen. Dafür habe ich den allgemeinen Lösungen:
>
> [mm]y_{1}=e^{-2x}(c_{1}*sin(\wurzel{2+\lambda}x))[/mm]
> [mm]y_{2}=e^{-2x}(c_{2}*cos(\wurzel{2+\lambda}x))[/mm]
>
> Dies ist doch der einzige Fall, denn ich dann noch
> betrachten müsste oder?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
