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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali
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Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 15.04.2013
Autor: Aguero

Aufgabe
Es seien


A= [mm] \pmat{ 4 & -5 & 3 \\ 3 & -4 & 3 \\ 3 & -5 & 4 } [/mm] und
B= [mm] \pmat{ 3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 } [/mm]

a) berechne char. Polynom und die eigenwerte
b) Berechne Dimension der zu den eigenwerten gehörenden Eigenräume und gebe Basis an
c) welche der beiden Matrizen ist Diagonalisierbar?

zu a)
Das char polynom und die Eigenwerte habe ich berechnet
das Polynom der beiden lautet [mm] x^{3}-4x^{2}+5x-2 [/mm]
deshalb haben die beiden auch die selben eigenwerte.
Eine doppelte Nullstelle in 1 und der andere Eigenwert lautet 2

zu b)
Wie gehe ich hier genau vor?
Es soll ja gelten
V [mm] x_{i} [/mm] = [mm] ker(x_{i} [/mm] * id -A )

Wenn ich das jetzt mit der Matrix A und dem Eigenwert "1" mache, komme ich auf die matrix

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

Nach dem Span ist ja garnicht gefragt oder?
falls ich den doch mit engeben muss, wäre dieser
span= { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] }  ??? oder wäre es der Nullvektor selbst?

Um die dim zu bestimmen gilt ja:
Rang(A) + dim(Kern(A)) = Anzahl der Spalten von Matrix A
Also 3+0=3  ???
Wie würde eine Basis aussehen?

zu c)
Damit eine Matrix diagonalisierbar ist, muss die Diagonale [mm] \not= [/mm] 0 sein
in diesem fall wäre die det(A) => diagonalisierbar, oder?

was genau bedeutet diagonalisierbar? wozu brauche ich es und was kann ich damit anstellen?



Danke im Voraus! :)

        
Bezug
Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Mo 15.04.2013
Autor: fred97


> Es seien
>
>
> A= [mm]\pmat{ 4 & -5 & 3 \\ 3 & -4 & 3 \\ 3 & -5 & 4 }[/mm] und
> B= [mm]\pmat{ 3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 }[/mm]
>  
> a) berechne char. Polynom und die eigenwerte
>  b) Berechne Dimension der zu den eigenwerten gehörenden
> Eigenräume und gebe Basis an
>  c) welche der beiden Matrizen ist Diagonalisierbar?
>  zu a)
>  Das char polynom und die Eigenwerte habe ich berechnet
>  das Polynom der beiden lautet [mm]x^{3}-4x^{2}+5x-2[/mm]
>  deshalb haben die beiden auch die selben eigenwerte.
>  Eine doppelte Nullstelle in 1 und der andere Eigenwert
> lautet 2
>  
> zu b)
>  Wie gehe ich hier genau vor?
>  Es soll ja gelten
> V [mm]x_{i}[/mm] = [mm]ker(x_{i}[/mm] * id -A )


Was stehen da für Sachen ? Das ist Doch Unfug !!!


>  
> Wenn ich das jetzt mit der Matrix A und dem Eigenwert "1"
> mache, komme ich auf die matrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Nach dem Span ist ja garnicht gefragt oder?
>  falls ich den doch mit engeben muss, wäre dieser
> span= { [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}  ??? oder wäre es der

> Nullvektor selbst?


Ist \lambda ein Eigenwert von A, so bekommst Du die zugeh. Eigenvektoren x als Lösungen des LGS

    (\lambda*id-A)x=0

    

>  
> Um die dim zu bestimmen gilt ja:
>  Rang(A) + dim(K

>  Wie würde eine Basis aussehen?
>  
> zu c)
>  Damit eine Matrix diagonalisierbar ist, muss die Diagonale
> [mm]\not=[/mm] 0 sein
>  in diesem fall wäre die det(A) => diagonalisierbar,

> oder?
>  
> was genau bedeutet diagonalisierbar?

Schau in Deiner Mitschrift nach !!!


FRED


> wozu brauche ich es
> und was kann ich damit anstellen?
>
>
>
> Danke im Voraus! :)  


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mo 15.04.2013
Autor: Aguero

was unfug

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 15.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


> was unfug

Ich glaube, deine Schreibweise ist "komisch"

Da steht bei dir: [mm]Vx_i=ker(x_i\cdot{}id-A)[/mm]

Statt id muss da aber die Einheitsmatrix stehen:

[mm]V(x_i)=\operatorname{ker}(x_i\cdot{}\mathbb E_3-A)[/mm]

Der Eigenraum zum Eigenwert [mm]x_i[/mm] - bezeichnet mit [mm] $V(x_i)$ [/mm] - ist der rechts stehende Kern ...


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte/Dim/Basis/Diagonali: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Di 16.04.2013
Autor: Aguero

jau genau das meinte ich auch
bin da nicht der profi drin, sonst würde ich nicht hier um die hilfe bitten
:)


Bezug
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