Eigenwerte/Eigenräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 06.07.2010 | | Autor: | stern.Ex |
| Aufgabe | Sei [mm] $V=\{A\in \IR^{2\times 2}\mid A \ \text{ist obere Dreiecksmatrix}\}$, [/mm]
Die lineare Abbildung [mm] $L:V\to [/mm] V, [mm] A\mapsto [/mm] L(A)$ hat die Eigenvektoren [mm] $C=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }, D=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] zum Eigenwert $1$ und [mm] $E=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm] zu dem Eigenwert $0$.
a) bestimmen sie Bild und Kern von L
b) Bestimmen Sie [mm] $L_b$ [/mm] (Darstellende Matrix)
c) Bestimmen Sie [mm] $K_b$ [/mm] (Koordinatenabbildung)
|
Hallo,
ich hoffe jemand kann mir unter die Arme greifen. Komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar. Hab nicht mal einen Ansatz. Ein kleiner Schubs (hab auch nichts gegen einen Vorschlaghammer ;) ) in die richtige Richtung wäre super!
--------------------------
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei [mm]V=\{A\in \IR^{2\times 2}\mid A \ \text{ist obere Dreiecksmatrix}\}[/mm],
> Die lineare Abbildung [mm]L:V\to V, A\mapsto L(A)[/mm] hat die
> Eigenvektoren [mm]C=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }, D=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> zum Eigenwert [mm]1[/mm] und [mm]E=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] zu dem
> Eigenwert [mm]0[/mm].
> a) bestimmen sie Bild und Kern von L
> b) Bestimmen Sie [mm]L_b[/mm] (Darstellende Matrix)
> c) Bestimmen Sie [mm]K_b[/mm] (Koordinatenabbildung)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Einen Vorschlaghammer will ich nicht nehmen, denn man sagt ja: "Wo rohe Kräfte sinnlos walten..."
Aber etwas Starthilfe:
Überlege erstmal, welche Dimension der VR V hat.
Überlege dann, ob Du womöglich eine Basis aus Eigenvektoren hast...
Vielleicht kommst Du hiermit schon ein Stück weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 06.07.2010 | | Autor: | stern.Ex |
na gut, aber wie wärs mit einem Brecheisen für das Brett vor dem Kopf ;).
Also die Dimension von V ist doch 3, somit hab ich eine Basis aus Eigenvektoren. Trotzdem komm ich nicht weiter...
|
|
|
| |
|
> Also die Dimension von V ist doch 3, somit hab ich eine
> Basis aus Eigenvektoren.
Hallo,
genau.
Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten zum Weitermachen.
1. Du siehst sofort, was Bild und Kern sind.
2. Du stellst die Abbildungsmatrix bzgl der Basis B:=(C, D, E) auf und bestimmst deren Kern und Bild.
3. Du überlegst Dir, daß man jede Matrix A aus V schreiben kann als A=cC+dD+eE, bestimmst L(A), überlegst, was wohl eine Basis des Bildes sein könnte, und dann schaust Du, für welche A gilt L(A)=Nullmatrix. Damit hast Du dann den Kern.
Wenn du soweit bist, kannst Du mal sagen, was das kleine "b" in den darauffolgenden Aufgabenteilen bedeutet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 06.07.2010 | | Autor: | stern.Ex |
Hab ich denn Tomaten auf den Augen? Schon zu 1. hab ich ein Problem.....
Das Bild ist doch [mm] span(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 })? [/mm] Aber was ist der Kern?
|
|
|
| |
|
>
> Hab ich denn Tomaten auf den Augen? Schon zu 1. hab ich ein
> Problem.....
> Das Bild ist doch [mm]span(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 })?[/mm]
Hallo,
ja.
Du solltest nun allerdings eine Basis des Bildes angeben - das will man von Dir, wenn nach dem Bild gefragt wird.
> Aber was ist der Kern?
Der Kern ist all das, was auf die Nullmatrix abgebildet wird.
Was hast Du Dir denn dazu bereits überlegt? Wo hängst Du?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 06.07.2010 | | Autor: | stern.Ex |
Hab gemerkt, dass es bei mir bei dem Grundlegensten fehlt. Für Kern gilt ja A*x=0. Weiss aber nicht wie das mit der Basis machen soll. Erkennt man das schon bei den Eigenwerten?
Zudem wollte ich die Lineare Unabhängigkeit der Elemente von Bild Span untersuchen um die Basis des Bildes zu bekommen, was natürlich auch Blödsinn ist. Man scheint es ja auf den ersten Blick zu sehen....:(
Wie du merkst, muss ich mich wieder der Ursuppe hinwenden.
ICh danke dir trotzdem für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
> Hab gemerkt, dass es bei mir bei dem Grundlegensten fehlt.
> Für Kern gilt ja A*x=0.
Hallo,
paß auf, daß Du genau genug arbeitest, sonst bringst Du Dich selbst um den Verstand.
Wenn Du einen VR W hast,
eine Abbildung [mm] f_A:W\to [/mm] W,
welche durch [mm] f_A(x):=A*x [/mm] definiert ist,
so sind im Kern all die x aus W, für welche gilt A*x=0.
(A ist die Darstellungsmatrix der Abbildung)
Du kannst, solange Du für Dein L keine Darstellungsmatrix aufgestellt hast, so nicht vorgehen.
Der Kern einer Abbildung umfaßt all die Elemente, die auf die Null abgebildet werden.
Deine Abbildung L geht aus dem Raum der oberen Dreiecksmatrizen in den Raum der oberen Dreiecksmatrizen.
[mm] L:V\to [/mm] V,
und es ist [mm] KernL:=\{X\in V| L(X)=Nullmatrix\}.
[/mm]
Du mußt also herausfinden, welche Matrizen X die Gleichung L(X)=Nullmatrix lösen.
Wir hatten festgestellt, daß man jedes [mm] X\in [/mm] V schreiben kann als X=cC+dD+eE.
Was ist denn nun L(X)=L(cC+dD+eE)? L(X)=L(cC+dD+eE)=...
Setze dies nun =Nullmatrix, und überlege Dir, für welche Koeffizienten c und d die Gleichung gelöst wird.
Um dies herauszufinden, rufe Dir ins Gedächtnis, daß B:=(C,D,E) eine Basis von V ist, also insbes. linear unabhängig.
> Zudem wollte ich die Lineare Unabhängigkeit der Elemente
> von Bild Span untersuchen um die Basis des Bildes zu
> bekommen, was natürlich auch Blödsinn ist.
Nein, das ist kein Blödsinn. Du hattest BildL=<C,D,0>, und hier mußt Du nun eine max. linear unabhängige Teilmenge abfischen, um eine basis des Bildes zu haben.
> Wie du merkst, muss ich mich wieder der Ursuppe
> hinwenden.
Das könnte eine gute Idee sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
