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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | Es seien $f, g$ Endomorphismen des n-dimensionalen K-Vektorraums V mit [mm] $f^2 [/mm] = f$ und [mm] $g^2 [/mm] = [mm] id_V$.
[/mm]
a) Bestimme die Eigenwerte von $f$ bzw. $g$. (Tipp: [mm] g^2 [/mm] - 1 = (g+1)(g-1), mit [mm] 1=id_V)
[/mm]
b) V besitzt eine Basis von Eigenvektoren von f. Im Fall char(K) [mm] \neq [/mm] 2 gilt gleiches für g. |
Hi! Also ich habe noch diese Aufgabe, wo ich nicht ganz weiter weiß.
Zu a) Das ganze würde ich nun ungefähr so angehen:
$f(f(x) = [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^2 [/mm] x = f(x) = [mm] \lambda [/mm] x$
[mm] \Leftrightarrow \lambda^2 [/mm] = [mm] \lambda \Leftrightarrow \lambda [/mm] = 1 oder [mm] \lambda [/mm] = 0
Ich weiß jetzt nicht, wie ich den Tipp genau anwenden sollte. Ich würde es folgendermaßen lösen:
g(x) = [mm] \lambda [/mm] x
[mm] \Leftrightarrow [/mm] g(g(x) = [mm] g(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^2 [/mm] x = [mm] id_V [/mm] = x
also [mm] \lambda [/mm] = 1 oder [mm] \lambda [/mm] = -1
Ich denke, dass des zu a) ausreicht. Bei b) Weiss ich jetzt gerade aber leider garnicht mehr weiter. Könnte mir da wohl jemand unter die Arme greifen?
Wie kann ich denn zeigen, dass es eine Basis von f aus Eigenvektoren gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zu a) Das ganze würde ich nun ungefähr so angehen:
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> [mm]f(f(x) = f(\lambda x) = \lambda^2 x = f(x) = \lambda x[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow \lambda^2[/mm] = [mm]\lambda \Leftrightarrow \lambda[/mm]
> = 1 oder [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> Ich weiß jetzt nicht, wie ich den Tipp genau anwenden
> sollte. Ich würde es folgendermaßen lösen:
> g(x) = [mm]\lambda[/mm] x
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] g(g(x) = [mm]g(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda^2[/mm] x = [mm]id_V[/mm]
> = x
> also [mm]\lambda[/mm] = 1 oder [mm]\lambda[/mm] = -1
Hallo,
für die Reinschrift würdest Du ja zunächst schreiben: sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert und x ein Eigenvektor.
Es ist für die Schlüsse nämlich wesentlich, daß der Vektor x nicht der Nullvektor ist.
Da wir nicht in [mm] \IR [/mm] sind, sondern in einem beliebigen Körper, würde ich die Schlüsse jeweils etwas ausführlicher ziehen, also
- [mm] \lambda^2[/mm] [/mm] = [mm] \lambda [/mm] ==> [mm] \lambda (\lambda [/mm] - 1)=0 ==> [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda [/mm] =1 (wegen der Nullteilerfreiheit v. Körpern).
Für den Eigenwert v. g entsprechend. (Den Tip brauchst Du nicht mehr.)
Für b) mußt Du nun die Eigenvektoren ermitteln und zeigen, daß sie linear unabhängig sind.
Ein Tip zu f: jeder Vektor =0 aus dem Bild von f ist ein Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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