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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte berechnen
Eigenwerte berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Di 07.04.2015
Autor: DerHochpunkt

Berechnen Sie die Eigenwerte folgender Matrix:

[mm]\frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}[/mm]

Ich bitte um Hilfe bei der Berechnung der Eigenwerte. Ich bekomme das nicht hin.

        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Di 07.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Berechnen Sie die Eigenwerte folgender Matrix:
>  
> [mm]\frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}[/mm]
>  
> Ich bitte um Hilfe bei der Berechnung der Eigenwerte. Ich
> bekomme das nicht hin.

wo ist Dein Problem?

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Di 07.04.2015
Autor: DerHochpunkt

Aufgabe
<br>
ich habs dreimal versucht und bin dreimal nicht weiter gekommen, irgendwo zwischen determinante bilden und einsetzen in pq-formel. es geht mir nicht so sehr um die lösung, als mehr um den lösungsweg. theoretisch ist der klar:

matrix - eigenvektor * einheitsmatrix.

determinante bilden und null setzen.

umstellen in form: my²-p my - q
und in pq-formel einsetzen.

 


<br>

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 07.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> <br>
>  ich habs dreimal versucht und bin dreimal nicht weiter
> gekommen, irgendwo zwischen determinante bilden und
> einsetzen in pq-formel. es geht mir nicht so sehr um die
> lösung, als mehr um den lösungsweg. theoretisch ist der
> klar:
>  
> matrix - eigenvektor * einheitsmatrix.

nein - schreib' mal das richtige hin!
  

> determinante bilden und null setzen.
>  
> umstellen in form: my²-p my - q
>  und in pq-formel einsetzen.
>  
>  
>  
> <br>

Also: Du hast

    $ [mm] \frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} [/mm] $

Die Dinger da sind alles Parameter (feste Variablen!).

EigenWERTE bezeichnen wir mal mit [mm] $t\,$ ($\lambda$ [/mm] ist ja schon vergeben). Ich schreibe mal [mm] $\red{t}\,.$ [/mm]

1.) Wie sieht nun

    [mm] $V:=\frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}-\pmat{\red{t} & 0 \\ 0 & \red{t}}$ [/mm]

aus?

2.) Was ist [mm] $\det(V)$? [/mm]

3.) Bestimme die [mm] $\red{t}$ [/mm] für die

    [mm] $\det(V)\, =\,0\,.$ [/mm]

D.h. Du startest mit

    [mm] $\det(V)\, \stackrel{!}{=}\,0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mi 08.04.2015
Autor: DerHochpunkt

Aufgabe
<br>

FEHLERHAFT, siehe daher nächste Frage.

Soweit komme ich, weiter nicht:

[mm] \frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]


[mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]


[mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{\alpha + \phi}[/mm]


[mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]


Ist das soweit richtig? Mich verwirrt der Nenner des letzten Terms, weil der zum Quadrat ist.



<br>

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Mi 08.04.2015
Autor: DerHochpunkt

Ich sehe gerade, ich habe einen Fehler gemacht, ich versuche die Frage zu editieren.

Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mi 08.04.2015
Autor: DerHochpunkt


Aufgabe
<br>
Soweit komme ich, weiter nicht:

[mm] \frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]


[mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]


[mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]


[mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha-\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]


Ist das soweit richtig? Wie nun weiter?





Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 08.04.2015
Autor: notinX


>
> <br>
>  Soweit komme ich, weiter nicht:
>  
> [mm]\frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]
>  
>
> [mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]
>  
>
> [mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]

[ok]

>  
>
> [mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha-\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
>  
>
> Ist das soweit richtig? Wie nun weiter?

[ok]
Wie es weiter geht? Was sagt denn Dein Skript/ Dein Buch / Das Internet zum Thema Eigenwerte? Alternativ kannst Du auch beherzigen, was Marcel Dir schon dazu geschrieben hat.

>  
>
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mi 08.04.2015
Autor: DerHochpunkt

Ich habs lösen können, ich habe jetzt nicht die zeit den rechenweg zu posten, hole das aber nach.

ps: das gleichheitszeichen ist nicht kaputt. =)

Bezug
                                                                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Mi 08.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habs lösen können, ich habe jetzt nicht die zeit den
> rechenweg zu posten, hole das aber nach.

so kompliziert wird das doch nicht. Die Determinante einer 2 x 2 - Matrix

    [mm] $d:=\det(\pmat{a & b \\ c & d})$ [/mm]

berechnet sich zu

    $d=a*d-b*c$ (links oben mal rechts unten Minus rechts oben mal links unten;

    Du kannst Dir das auch *mithilfe der Diagonalen* merken...).

Sowas (und auch die Regel von Sarrus für 3 x 3 - Matrizen) solltest Du
auswendig können.

Danach bekommst Du irgendwas der Art

    [mm] $\ell t^2+mt+n=0\,,$ [/mm]

diese Gleichung teilst Du für [mm] $\ell=0$ [/mm] durch [mm] $\ell$ [/mm] und verwendest die MBPQFormel.

P.S. Ich hoffe, die Variablen, die ich hier benutzt habe, waren noch frei.
Ansonsten denke Dir halt ein "clear all" dabei. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 Mi 08.04.2015
Autor: notinX

Ist die Taste Deiner Tastatur mit dem Gleichheitszeichen kaputt, oder warum hast Du noch kein einziges davon benutzt?

Gruß,

notinX

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mi 08.04.2015
Autor: notinX


> <br>
>  
> FEHLERHAFT, siehe daher nächste Frage.

Statt eine neue Frage zu erstellen, hättest Du auch einfach diese hier korrigieren können ;-)

>  
> Soweit komme ich, weiter nicht:
>  
> [mm]\frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]
>  
>
> [mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]
>  
>
> [mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{\alpha + \phi}[/mm]
>  
>
> [mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
>  
>
> Ist das soweit richtig? Mich verwirrt der Nenner des
> letzten Terms, weil der zum Quadrat ist.
>  
>
> <br>


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