Eigenwerte bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Jordansche Normalform der Matrix
[mm] \pmat{4 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -9 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ } [/mm] |
Also durch berechnen bin ich auf den Eigenwert [mm] \lambda=3 [/mm] gekommen. Nun hab ich gehört, dass dies auch ohne berechnen ablesbar sei.
Könnte mir das jemand erklären, warum ich hier sofort erkennen kann, dass 3 der einzige eigenwert ist und dieser auch ablesbar ist.
dankeschön
|
|
| |
|
Ich habe keine wirkliche Ahnung ob meine Idee richtig ist - aber sagen kann ich sie ja mal:
Wie du sehen kannst hat die Matrix eine Spalte bzw. eine Zeile, in der außer Nullen nur eine 3 steht. Wenn ich mir nun vorstelle, an die Matrix einen Vektor dran zu multiplizieren, würde der in der entsprechenden Zeile so aussehen:
> [mm]\pmat{4 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -9 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ }\vektor{* \\ * \\ * \\ a \\ * \\ * } = \vektor{ * \\ * \\ * \\ 3*a\\ * \\ * }[/mm]
Wenn nun die Gleichung für Eigenwerte,
[mm]A*v = \lambda*v[/mm]
bei dieser Gleichung erfüllt sein soll und wir nur die 4. Komponente des eingegebenen Vektors betrachten, ist ja klar dass dann nur (wenn überhaupt) [mm] \lambda [/mm] = 3 in Frage kommt, weil jeder andere Eigen-Wert nicht die vierte Komponente im Ergebnis-Vektor genauso "produzieren" würde wie die Matrix.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Soweit so gut. Aber:
> bei dieser Gleichung erfüllt sein soll und wir nur die 4.
> Komponente des eingegebenen Vektors betrachten, ist ja klar
> dass dann nur (wenn überhaupt) [mm]\lambda[/mm] = 3 in Frage kommt,
> weil jeder andere Eigen-Wert nicht die vierte Komponente im
> Ergebnis-Vektor genauso "produzieren" würde wie die Matrix.
In der Komponente koennte ja auch einfach 0 stehen (bzw. muss), wenn es ein anderer Eigenwert ist. Dies schliesst nicht aus, dass es nicht andere Eigenwerte gibt.
Um zu testen, ob 3 der einzige ist, muss man gucken, ob $A - 3 [mm] E_6$ [/mm] nilpotent ist (wenn $A$ die Matrix ist), oder halt das char. Polynom ausrechnen und faktorisieren.
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Bestimme die Jordansche Normalform der Matrix
>
> [mm]\pmat{4 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -9 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ }[/mm]
>
> Also durch berechnen bin ich auf den Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm]
> gekommen. Nun hab ich gehört, dass dies auch ohne berechnen
> ablesbar sei.
> Könnte mir das jemand erklären, warum ich hier sofort
> erkennen kann, dass 3 der einzige eigenwert ist und dieser
> auch ablesbar ist.
> dankeschön
Hallo,
ich seh's jedenfalls nicht.
Was man sofort sieht, und worauf auch steppenhahn hinweist:
der dritten Spalte kann man sofort entnehmen, daß 3 ein Eigenwert ist.
Aber ob das der einzige ist? Ich müßte hierfür ein bißchen rechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 So 18.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> Bestimme die Jordansche Normalform der Matrix
>
> [mm]\pmat{4 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -9 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ }[/mm]
>
> Also durch berechnen bin ich auf den Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm]
> gekommen. Nun hab ich gehört, dass dies auch ohne berechnen
> ablesbar sei.
Hallo,
bist Du Dir sicher, daß es beim "ohne Berechnen" wirklich um die Eigenwerte ging?
Man kann nämlich oft die JNF aufstellen, ohne großartig die Jordanbasis zu berechnen. Vielleicht was so etwas ja gemeint.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja, bin mir 100%ig sicher.
Bekomme morgen die Lösung dazu und werde auch sicherlich nachhaken
|
|
|
| |
|
> Bekomme morgen die Lösung dazu und werde auch sicherlich
> nachhaken
Hallo,
ich wäre begierig auf das Ergebnis Deines Nachhakens.
Wenn das wirklich geht mit dem "Sehen" der Eigenwerte, würde ich das gern wissen. Natürlich auch, WIE es geht, wenn es geht.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
