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Eigenwerte bestimmen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Aufgabe
Bestimmen sie alle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren für die Matrix

[mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm]

Hi

also ich hab das so versucht zu lösen und bin soweit gekommen:

[mm] \chi_A(\lambda)=det(A-\lambda*E_3) [/mm]

det [mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm]

det [mm] \pmat{ -\lambda & -2 & 0 \\ 2 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -3-\lambda } [/mm]

[mm] =-\lambda*-\lambda*(-3-\lambda) [/mm] - [ [mm] (-3-\lambda)*2*-2] [/mm]
= [mm] -\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda-12 [/mm]  = 0

stimmt das zufällig bis dahin wenigstens und wie mache ich jetzt weiter, muss ja jetzt glaub die Nullstellen rausfinden, weiß aber hier nicht wie ich das machen soll....

Grüße
Roffel

        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Do 09.06.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> wie jetzt

eine NUllstelle raten, hier zbsp. -3, dann die ausklammern/polynomdivison und noch das quadratische kaputt machen.


Gruss
kushkush

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Hey danke für die schnelle Antwort! das probier ich mal jetzt!
und bis dahin stimmt alles??

grüße


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Do 09.06.2011
Autor: kushkush

Hi,


> bis hierhin

jep



Gruss
kushkush

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

*freu* danke...

aber wie läuft das eig. hier jetzt mit dem ausklammern, ich würd einfach gleich die polynomdivision anwenden so:

[mm] -\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda-12:(x+3)= [/mm]    falsch?


Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Do 09.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Roffel,

> *freu* danke...
>  
> aber wie läuft das eig. hier jetzt mit dem ausklammern,
> ich würd einfach gleich die polynomdivision anwenden so:
>  
> [mm]-\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda-12:(x+3)=[/mm]    falsch?
>  


Klammern setzen nicht vergessen:

[mm]\left\blue{(}-\lambda^{3}-3\lambda^{2}-4\lambda-12\right\blue{)}:(x+3)=[/mm]  


>
> Grüße


Gruss
MathePower

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Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

thx again...

dann bekomm ich [mm] -\lambda^{2}-4=0 [/mm] raus... kann ich das irgendwie vernünftig faktorisieren überhaupt? weil glaube so sollte man ja normal fortfahren

aber sieht man dann ja auch bei diesem beispiel gut das dann noch [mm] \lambda=2 [/mm] und [mm] \lambda=-2 [/mm] Nullstellen sind.....


right?

Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Do 09.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Roffel,

> thx again...
>  
> dann bekomm ich [mm]-\lambda^{2}-4=0[/mm] raus... kann ich das
> irgendwie vernünftig faktorisieren überhaupt? weil glaube
> so sollte man ja normal fortfahren
>  
> aber sieht man dann ja auch bei diesem beispiel gut das
> dann noch [mm]\lambda=2[/mm] und [mm]\lambda=-2[/mm] Nullstellen sind.....
>  


Das ist nicht richtig.


>
> right?
>  


Aus der obigen Gleichung ist ersichtlich,
daß es komplexe Nullstellen gibt.


> Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Do 09.06.2011
Autor: Roffel


>
>
> Das ist nicht richtig.
>  

>
> Aus der obigen Gleichung ist ersichtlich,
> daß es komplexe Nullstellen gibt.
>  
>


ok. danke, aber was heist das dann für mich, wie muss ich das dann lösen??

Grüße


Bezug
                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Do 09.06.2011
Autor: kushkush

Hoy,


zieh die 2.te wurzel aus -4 dann bist du fertig.




Gruss
kushkush

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Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Do 09.06.2011
Autor: Roffel

Danke :)

das war doch jetzt was mit Komplexen Zahlen hm....

>
> zieh die 2.te wurzel aus -4 dann bist du fertig.

irgendwas mit
i²=-1 oder so
aber wie macht man das genau nochmal??

und ich bin ja glaub noch nicht fertig mit der Aufgabenstellung oder????

Grüße


Bezug
                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:17 Fr 10.06.2011
Autor: kushkush

Hallo!


> komplexe Zahlen

  schau   []hier

> fertig?

nein


> GrüBe

Danke!


Gruss
kk

Bezug
                                                                                                
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Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

Danke.

[mm] -\lambda^{2}-4=0 [/mm]
[mm] \lambda^{2}=-4 [/mm]
    [mm] \lambda [/mm]   = 2i  right? oder wie schreib ich das auf? bzw. was sind denn dann genau meine Nullstellen mit denen ich weiter rechnen muss??

Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Fr 10.06.2011
Autor: fred97


> Danke.
>  
> [mm]-\lambda^{2}-4=0[/mm]
>  [mm]\lambda^{2}=-4[/mm]
>      [mm]\lambda[/mm]   = 2i  right?

Ja, und  [mm]\lambda[/mm]   =- 2i



>  oder wie schreib ich das auf?
> bzw. was sind denn dann genau meine Nullstellen mit denen
> ich weiter rechnen muss??


        -3, 2i, -2i

FRED

>  
> Grüße


Bezug
                                                                                                                
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Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

Danke fred

>
> -3, 2i, -2i

Mein weiter Ansatz ist jetzt:

[mm] [A-(-3*E_3)]*v1=0 [/mm]
[mm] [A-2i*E_3]*v2=0 [/mm]
[mm] [A-(-2i*E_3)]*v3=0 [/mm]       A ist die Anfangsmatrix und E3 die Einheintsmatrix.

das stimmt bis herhin noch oder?

jetzt hab ich das mit [mm] [A-(-3*E_3)]*v1=0 [/mm] mal probiert....

erstmal die Klammer ausrechnen und auf Zeilenstufenform gebracht:
da bekomm ich das raus, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt:

[mm] \pmat{ 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]   richtig??? und dann wieder in ein LGS umgewandelt:

1x-2/3y=0
1y       =0  die letzte Zeile ist ja eine 0 Zeile deshalb wähle ich da ja normal ein Parameter... aber hier ist die 3te Spalte ja immer 0, wie läuft das dann hier? sind dann x y z alle 0 oder wie mach ich das?

Grüße
ROffel
  


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Roffel,


> Danke fred
>  
> >
> > -3, 2i, -2i
>  
> Mein weiter Ansatz ist jetzt:
>  
> [mm][A-(-3*E_3)]*v1=0[/mm]
>  [mm][A-2i*E_3]*v2=0[/mm]
>  [mm][A-(-2i*E_3)]*v3=0[/mm]       A ist die Anfangsmatrix und E3
> die Einheintsmatrix.
>  
> das stimmt bis herhin noch oder?

Jo, diese Eigenräume (Kerne) gilt es zu bestimmen ...

>  
> jetzt hab ich das mit [mm][A-(-3*E_3)]*v1=0[/mm] mal probiert....
>  
> erstmal die Klammer ausrechnen und auf Zeilenstufenform
> gebracht:
>  da bekomm ich das raus, bin mir aber nicht sicher ob das
> stimmt:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]   richtig???

Jo, sieht richtig aus, auch wenn du gar nicht auf 1 normieren musst ...

> und dann wieder in ein LGS umgewandelt:
>  
> 1x-2/3y=0
>  1y       =0  die letzte Zeile ist ja eine 0 Zeile deshalb
> wähle ich da ja normal ein Parameter... aber hier ist die
> 3te Spalte ja immer 0, wie läuft das dann hier? sind dann
> x y z alle 0 oder wie mach ich das?

Setze [mm]z=t[/mm] mit [mm]t\in\IC[/mm], dann ist mit Zeile 2: [mm]y=0[/mm] und schließlich mit Zeile 1:

[mm]x-\frac{2}{3}y=0[/mm], also [mm]x-0=0[/mm], also [mm]x=0[/mm]

Ein Lösungsvektor [mm]v=\vektor{x\\ y\\ z}[/mm] hat also die Gestalt [mm]\vektor{0\\ 0\\ t}[/mm] mit [mm]t\in\IC[/mm]

Irgendein Vektor [mm]\neq \vec{0}[/mm] daraus tut's als Eigenvektor.

Etwa [mm]v_1=\vektor{0\\ 0\\ 1}[/mm] (den erhältst du für [mm]t=1[/mm])

Der Kern ist also folgender Spann [mm]\left\langle\vektor{0\\ 0\\ 1}\right\rangle_{\IC}[/mm]



>  
> Grüße
> ROffel
>    
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

Danke schachuzipus

>  
> >  

> > [mm]\pmat{ 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]  


> Jo, sieht richtig aus, auch wenn du gar nicht auf 1
> normieren musst ...

echt muss ich nicht? wie gehts es denn schneller?


hab das dann auch mit $ [mm] [A-2i\cdot{}E_3]\cdot{}v2=0 [/mm] $ versucht, aber habe da Probleme beim auflösen...

die Klammer ausgerechnet, bekomme ich das raus:


[mm] \pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 2 & -2i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i} [/mm] und normal will ich das ja auf zeilenstufenform bringen... aber das klappt irgendwie nicht so richtig, hab da so meine Probleme mit dem i .... wie mach ich das denn am geschicktesten, ich bekomm immer komisches zeug raus....???

Grüße
Roffel



Gruß
Roffel

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


>  Danke schachuzipus
>
> >  

> > >  

>
> > > [mm]\pmat{ 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]  
>
>
> > Jo, sieht richtig aus, auch wenn du gar nicht auf 1
> > normieren musst ...
>  
> echt muss ich nicht? wie gehts es denn schneller?

Nun, es genügt, wenn du in der Matrix [mm]A+3\mathbb{E}_3}=\pmat{3&-2&0\\ 2&3&0\\ 0&0&0}[/mm] das 2fache der 1.Zeile auf das -3fache der 2.Zeile addierst, dann hast du schon Zeilenstufenform ...

>  
>
> hab das dann auch mit [mm][A-2i\cdot{}E_3]\cdot{}v2=0[/mm] versucht,
> aber habe da Probleme beim auflösen...
>  
> die Klammer ausgerechnet, bekomme ich das raus:
>  
>
> [mm]\pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 2 & -2i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i}[/mm] [ok] und
> normal will ich das ja auf zeilenstufenform bringen... aber
> das klappt irgendwie nicht so richtig, hab da so meine
> Probleme mit dem i .... wie mach ich das denn am
> geschicktesten, ich bekomm immer komisches zeug
> raus....???

Vorrechnen!

Beginne so:

Addiere Zeile 1 auf das i-fache von Zeile 2 ...


LG

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

Danke schachuzipus

> Beginne so:
>  
> Addiere Zeile 1 auf das i-fache von Zeile 2 ...

dann würde es bei mir so aussehen:

-->  [mm] \pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 0 & -2i-2i^{2} & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i} [/mm]  jetzt wüsste ich aber nich weiter nun hab ich da auch janoch [mm] i^{2} [/mm] drin hm...
oder kann/muss/soll ich das jetzt schon wieder als LGS schreiben:

-2i*x - 2y                             =0
       [mm] (-2-2i^{2})*y [/mm]                =0
                      [mm] (-3-2i^{2})*z [/mm] =0       keine anhung wie ich da vernünftig weiterrechnen kann....

Grüße

  

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

Du musst schon benutzen, dass [mm]i^2=-1[/mm] gilt ...

>  Danke schachuzipus
>
> > Beginne so:
>  >  
> > Addiere Zeile 1 auf das i-fache von Zeile 2 ...
>  dann würde es bei mir so aussehen:
>  
> -->  [mm]\pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 0 & -2i-2i^{2} & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i}[/mm]

Moment!

Wenn du Zeile 2 mit i multiplizierst, steht da [mm]2\red{i} \ \ -2i\red{i} \ \ 0[/mm]

Also [mm]2i \ \ -2i^2 \ \ 0[/mm]

Mit [mm]i^2=-1[/mm] also [mm]2i \ \ -2(-1) \ \ 0[/mm]

Also [mm]2i \ \ 2 \ \ 0[/mm]

Und wenn du darauf Zeile 1 addierst, entsteht doch eine Nullzeile!

Mache ab hier nochmal weiter, um einen Eigenvektor abzugreifen


>  jetzt wüsste ich aber nich weiter nun hab ich da auch
> janoch [mm]i^{2}[/mm] drin hm...
>  oder kann/muss/soll ich das jetzt schon wieder als LGS
> schreiben:
>  
> -2i*x - 2y                             =0
>         [mm](-2-2i^{2})*y[/mm]                =0
>                        [mm](-3-2i^{2})*z[/mm] =0       keine anhung
> wie ich da vernünftig weiterrechnen kann....
>  
> Grüße
>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel


> Und wenn du darauf Zeile 1 addierst, entsteht doch eine
> Nullzeile!

Ja genau und dann umgestellt steht das da:
    [mm] \pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0} [/mm]

> Mache ab hier nochmal weiter, um einen Eigenvektor
> abzugreifen

k ich soll also weitermachen, ich persönlich würde ja jetzt halt schauen das ich oben links in der Matrix eine 1 stehen habe damit ich es danach in ein LGS schreiben kann, oder kann ich das auch ohne die 1Diagonale in ein LGS direkt schreiben??

also würde ich die erste Zeile durch -2i teilen --> 1    1/i     0

[mm] \pmat{ 1 & 1/i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0} [/mm]

dann würd ich es in ein LGS schreiben, und z=t setzen.

1x+(1/i)y      = 0
       (-3-2i)*t=0   wobei ich das ja jetzt nicht gescheit auflösen kann....
                          wie muss ich hier fortfahren??

Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> > Und wenn du darauf Zeile 1 addierst, entsteht doch eine
> > Nullzeile!
>  
> Ja genau und dann umgestellt steht das da:
>      [mm]\pmat{ -2i & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> > Mache ab hier nochmal weiter, um einen Eigenvektor
> > abzugreifen
>   k ich soll also weitermachen, ich persönlich würde ja
> jetzt halt schauen das ich oben links in der Matrix eine 1
> stehen habe damit ich es danach in ein LGS schreiben kann,
> oder kann ich das auch ohne die 1Diagonale in ein LGS
> direkt schreiben??


Ja sicher, als LGS:

(1) [mm]-2ix-2y=0[/mm]
(2) [mm](-3-2i)z=0[/mm]
(3) [mm]0=0[/mm]

Mit (2): [mm]z=0[/mm]

Mit (3): [mm]y=t, t\in\IC[/mm]

Mit (1) dann: [mm]-2ix-2t=0\Rightarrow x=-t/i=it[/mm]

> also würde ich die erste Zeile durch -2i teilen

Ok, kannst du machen

> --> 1    1/i     0

Ja, und [mm]1/i=-i/(i(-i))=-i/1=-i[/mm]

>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1/i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> dann würd ich es in ein LGS schreiben, und z=t setzen.

Nein, Zeile 2 diktiert dir [mm]z=0[/mm] !!

Du kannst [mm]y=t[/mm] setzen

>  
> 1x+(1/i)y      = 0
>         (-3-2i)*t=0   wobei ich das ja jetzt nicht gescheit
> auflösen kann....
>                            wie muss ich hier fortfahren??
>  
> Grüße

LG

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

Ok Danke, jetzt hab ich es einigermaßen verstanden,  da muss man ja durch eine ganze Menge beachten:)



  

> Ja, und [mm]1/i=-i/(i(-i))=-i/1=-i[/mm]  wie kommt man da denn von    [mm] \bruch{-i}{(i(-i))} [/mm]  auf [mm] \bruch{-i}{1} [/mm]   ??
>  
> >  

> > [mm]\pmat{ 1 & 1/i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> >

dann hab ich  y=t gesetzt.
  und dann wäre meine Lösung:

v2:= t [mm] \vektor{i \\ 1 \\ 0} [/mm]   , t [mm] \varepsilon \IR [/mm] \ {0}   right?

dann mach ich das jetzt noch mit der dritten Nullstelle.
DAnke vielmals!

Grüße




Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ok Danke, jetzt hab ich es einigermaßen verstanden, da
> muss man ja durch eine ganze Menge beachten:)

Naja, eigentlich ist es "nur" ein bisschen Herumrechnen mit komplexen Zahlen. Sieh' es als Übung an ;-)

>
>
>
>
> > Ja, und [mm]1/i=-i/(i(-i))=-i/1=-i[/mm] wie kommt man da denn von
> [mm]\bruch{-i}{(i(-i))}[/mm] auf [mm]\bruch{-i}{1}[/mm] ??
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 1/i & 0 \\ 0 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> > >
> dann hab ich y=t gesetzt.
> und dann wäre meine Lösung:
>
> v2:= t [mm]\vektor{i \\ 1 \\ 0}[/mm] , t [mm]\varepsilon \IR[/mm] \ {0}
> right?

Yes!

>
> dann mach ich das jetzt noch mit der dritten Nullstelle.

Jo, mache das mal

> DAnke vielmals!
>
> Grüße
>
>
>


LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Fr 10.06.2011
Autor: Roffel

kurz noch :)

> > > Ja, und [mm]1/i=-i/(i(-i))=-i/1=-i[/mm] wie kommt man da denn von
> > [mm]\bruch{-i}{(i(-i))}[/mm] auf [mm]\bruch{-i}{1}[/mm] ??


LG


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Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Fr 10.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> kurz noch :)
>
> > > > Ja, und [mm]1/i=-i/(i(-i))=-i/1=-i[/mm] wie kommt man da denn von
> > > [mm]\bruch{-i}{(i(-i))}[/mm] auf [mm]\bruch{-i}{1}[/mm] ??

Allgemein kannst du doch einen komplexen Nenner reell machen, indem du mit seinem komplex Konjugierten erweiterst:

[mm]\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{z\overline{w}}{\underbrace{|w|^2}_{\in\IR}}[/mm]

Hier hatten wir [mm]\frac{1}{i}=\frac{1\cdot{}(-i)}{i\cdot{}(-i)}=\frac{-i}{1}=-i[/mm]

[mm]i(-i)=1[/mm] !!


Gruß
schachuzipus



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