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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix und ihre Eigenräume.
[mm] B=\pmat{ 1+2i & 1-i & 1-i \\ 1-i & 1+2i & 1-i \\ 1-i & 1-i & 1+2i }
[/mm]
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Hallo!
Also ich weiss wie man das Charakteristische Polynom berechnet und wie man dann auch die Eigenwerte und den Eigenraum bestimmt. ABER : ich hab garkeine Erfahrung mit den Komplexen Zahlen.
Nun bin ich schon soweit gekommen und habe bei der Determinatenberechnung bemerkt dass die letzten beiden "Faktoren" beim Laplace wegfallen.
Nun habe ich ich folgendes raus.
[mm] [(1+2i)-x]*([(1+2i)-x]^{2}-(1-i)^{2})
[/mm]
und weiss nicht weiter...ich hab garkeine Ahnung ob ich Komplexe nullstellen rausbekomme oder nicht und wie ich die überhaupt berechnen kann
oder geht das bei der Matrix irgendwie einfacher..?(meine es wurde vom Tutor angedeutet).
Für eine kleine Hilfestellung wäre ich dankbar!
Grüße Charlie
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Hallo Charlie1984,
> Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix und ihre
> Eigenräume.
> [mm]B=\pmat{ 1+2i & 1-i & 1-i \\ 1-i & 1+2i & 1-i \\ 1-i & 1-i & 1+2i }[/mm]
>
> Hallo!
> Also ich weiss wie man das Charakteristische Polynom
> berechnet und wie man dann auch die Eigenwerte und den
> Eigenraum bestimmt. ABER : ich hab garkeine Erfahrung mit
> den Komplexen Zahlen.
> Nun bin ich schon soweit gekommen und habe bei der
> Determinatenberechnung bemerkt dass die letzten beiden
> "Faktoren" beim Laplace wegfallen.
> Nun habe ich ich folgendes raus.
>
> [mm][(1+2i)-x]*([(1+2i)-x]^{2}-(1-i)^{2})[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> und weiss nicht weiter...ich hab garkeine Ahnung ob ich
> Komplexe nullstellen rausbekomme oder nicht und wie ich die
> überhaupt berechnen kann
> oder geht das bei der Matrix irgendwie einfacher..?(meine
> es wurde vom Tutor angedeutet).
Mitunter kann man aus dem charakteristischen Polynom gewisse Faktoren ausklammern.
>
> Für eine kleine Hilfestellung wäre ich dankbar!
Gruß
MathePower
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Also: nochmal nachgerechnet 
[mm] \vmat{ 1+2i & 1-i & 1-i \\ 1-i & 1+2i & 1-i \\ 1-i & 1-i & 1+2i } [/mm] =
[mm] (1+2i-x)^{3}-(1+2i-x)(1-i)^{2} [/mm] - [mm] (1-i)^{2}(1+2i-x)-(1-i)^{3} [/mm] + [mm] (1-i)^{3}-(1-i)^{2}(1+2i-x) [/mm] ist das richtig?
muss ich jetzt wirklich dass ganze ausrechnen ?..also ich hab es 2 mal getan und recht viel zeit investiert und nachher gemerkt dass ich mich verechnet hatte.(wie gesagt hab noch nicht mit komplexen gearbeitet)
Wenn ja dann muss ich wohl nochmal nen Abend dransetzen
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Hallo Charlie1984,
> Also: nochmal nachgerechnet
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> [mm]\vmat{ 1+2i & 1-i & 1-i \\ 1-i & 1+2i & 1-i \\ 1-i & 1-i & 1+2i }[/mm]
> =
>
> [mm](1+2i-x)^{3}-(1+2i-x)(1-i)^{2}[/mm] -
> [mm](1-i)^{2}(1+2i-x)-(1-i)^{3}[/mm] + [mm](1-i)^{3}-(1-i)^{2}(1+2i-x)[/mm]
> ist das richtig?
Das ist fast richtig:
[mm](1+2i-x)^{3}-(1+2i-x)(1-i)^{2}[/mm]
[mm]-(1-i)^{2}(1+2i-x)\red{+}(1-i)^{3}[/mm] [mm]+(1-i)^{3}-(1-i)^{2}(1+2i-x)[/mm]
Jetzt musst Du das nur noch ausmultiplizieren.
>
> muss ich jetzt wirklich dass ganze ausrechnen ?..also ich
> hab es 2 mal getan und recht viel zeit investiert und
> nachher gemerkt dass ich mich verechnet hatte.(wie gesagt
> hab noch nicht mit komplexen gearbeitet)
> Wenn ja dann muss ich wohl nochmal nen Abend dransetzen
>
Wenn Du Dir Matrix genauer betrachtest, dann sieht die so aus:
[mm]\pmat{u & v & v \\ v & u & v \\ v & v & u}[/mm]
mit [mm]u=1+2i, \ v=1-i[/mm]
Dann brauchst nur von dieser Matrix
[mm]\pmat{u-x & v & v \\ v & u-x & v \\ v & v & u-x}[/mm]
die Determinante berechnen.
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>
Gruß
MathePower
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