Eigenwerte einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben sei eine (n, n)- bzw. (n x n) MAtrix A mit A² - 7A + E = 0, wobei E die (n, n)-Einheitsmatrix ist. Entscheiden Sie, ob 1 ein Eigenwert von A ist, indem Sie zunächst nachweisen, dass det A = 0 genau dann gilt, wenn det (A-E) = 0 gilt! |
Was mussi ch denn jetzt als erstes machen? Kannmir jmd. helfen?
Das ist meine letzte Aufgabe - sonst habe ich alles allein geschafft :)
Danke für schnelle Antworten!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine (n, n)- bzw. (n x n) MAtrix A mit A² - 7A
> + E = 0, wobei E die (n, n)-Einheitsmatrix ist. Entscheiden
> Sie, ob 1 ein Eigenwert von A ist, indem Sie zunächst
> nachweisen, dass det A = 0 genau dann gilt, wenn det (A-E)
> = 0 gilt!
> Was mussi ch denn jetzt als erstes machen? Kannmir jmd.
> helfen?
> Das ist meine letzte Aufgabe - sonst habe ich alles
> allein geschafft :)
Das ist merkwürdig. Ist die Gleichung A² - 7A + E = 0 wirlich richtig ?
Wenn ja, so würde ich das so machen:
Aus Ax=x folgt $A^2x=x$ und daraus
0= [mm] (A^2-7A+E)x= [/mm] x-7x+x= -5x,
somit ist x=0 und 1 kein Eigenwert von A
FRED
>
> Danke für schnelle Antworten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 15.08.2010 | | Autor: | DER-Helmut |
Ja, die Gleichung stimmmt ;)
Dnake ich verscuhe es mal nachzuvollziehen!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | (Das ist merkwürdig. Ist die Gleichung A² - 7A + E = 0 wirlich richtig ?Wenn ja, so würde ich das so machen:
Aus Ax=x folgt $A^2x=x$ und daraus
0= [mm] (A^2-7A+E)x= [/mm] x-7x+x= -5x,
somit ist x=0 und 1 kein Eigenwert von A. |
Wieso ist das merkwürdig?
Wie kommst du auf Ax = x und A²x=x ? =/
|
|
|
| |
|
Hallo,
> (Das ist merkwürdig. Ist die Gleichung A² - 7A + E = 0
> wirlich richtig ?Wenn ja, so würde ich das so machen:
>
> Aus Ax=x folgt [mm]A^2x=x[/mm] und daraus
> 0= [mm](A^2-7A+E)x=[/mm] x-7x+x= -5x,
> somit ist x=0 und 1 kein Eigenwert von A.
> Wieso ist das merkwürdig?
> Wie kommst du auf Ax = x und A²x=x ? =/
Wenn 1 Eigenwert wäre und $x$ ein zugeh. Eigenvektor, dann gilt:
[mm] $\blue{Ax}=1\cdot{}x\blue{=x}$
[/mm]
Also [mm] $A^2x=A(\blue{Ax})=A\blue{x}=x$
[/mm]
Und weiter wie in Freds Rechnung folgt, dass dann $x=0$ wäre, aber $0$ ist per definitionem kein Eigenvektor!
Damit kann 1 kein EW sein
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine (n, n)- bzw. (n x n) MAtrix A mit A² - 7A
> + E = 0, wobei E die (n, n)-Einheitsmatrix ist. Entscheiden
> Sie, ob 1 ein Eigenwert von A ist, indem Sie zunächst
> nachweisen, dass det A = 0 genau dann gilt, wenn det (A-E)
> = 0 gilt!
> Was mussi ch denn jetzt als erstes machen? Kannmir jmd.
> helfen?
> Das ist meine letzte Aufgabe - sonst habe ich alles
> allein geschafft :)
>
> Danke für schnelle Antworten!
Aus A² - 7A + E = 0, folgt:
$A(A-6E) = A-E$
Somit: $det(A-E)= det(A)*det(A-6E)$
Daher: $det(A-E)=0 [mm] \gdw [/mm] det(A) =0$ oder $det(A-6E)=0$
Das meinte ich mit "merkwürdig"
Das:
"indem Sie zunächst nachweisen, dass det A = 0 genau dann gilt,wenn det (A-E) = 0 gilt"
halt ich für ziemlich bekloppt
Es ist doch so: Ist p ein Polynom und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] p(\lambda) [/mm] ein Eigenwert von p(A)
Wegen A² - 7A + E = 0 und dem eben Geasgten gilt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A:
[mm] $\lambda^2-7\lambda+1=0$
[/mm]
Dass 1 keine Lösung dieser simplen quadratischen Gleichung ist, sieht ein Blinder mit Krückstock
FRED
|
|
|
|
