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| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \leq 3[/mm]. Betrachten Sie die lineare Abbildung
[mm]\varphi : V \to V[/mm]
[mm]p \mapsto \frac{d}{dt} \left( p(t) \cdot (1-2t) \right)[/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von [mm] \varphi[/mm].
b) Bestimmen Sie die Eigenräume zu den Eigenwerten von [mm] \varphi[/mm]. |
Hallo zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter. Vermutlich ist mein Ansatz schon falsch:
Ein Polynom vom Grad 3 sieht ja so aus: [mm]p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d[/mm]
Also ist [mm] \left \{ 1,t,t^2,t^3 \right \}[/mm] eine Basis des Raums.
[mm]\frac{d}{dt} \left ( 1 \cdot (1-2 \cdot 1) \right ) = 0[/mm]
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t - 2t^2 \right ) = 1 - 4t[/mm]
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t^2 \cdot (1-2 \cdot t^2) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t^2 - 2t^4 \right ) = 2t - 8t^3[/mm]
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t^3 \cdot (1-2 \cdot t^3) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t^3 - 2t^6 \right ) = 3t^2 - 12t^5[/mm]
Daraus kann man dann die darstellende Matrix erstellen:
[mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -12 } [/mm]
Das ist offensichtlich keine quadratische Matrix, weshalb ich hier auch keine Eigenwerte bestimmen kann.
Was ist hier schiefgelaufen?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 28.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Patrick,
> Sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \leq 3[/mm].
> Betrachten Sie die lineare Abbildung
>
> [mm]\varphi : V \to V[/mm]
> [mm]p \mapsto \frac{d}{dt} \left( p(t) \cdot (1-2t) \right)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von [mm] \varphi[/mm].
> b)
> Bestimmen Sie die Eigenräume zu den Eigenwerten von [mm] \varphi[/mm].
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht
> weiter. Vermutlich ist mein Ansatz schon falsch:
>
> Ein Polynom vom Grad 3 sieht ja so aus: [mm]p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d[/mm]
>
> Also ist [mm] \left \{ 1,t,t^2,t^3 \right \}[/mm] eine Basis des
> Raums.
>
> [mm]\frac{d}{dt} \left ( 1 \cdot (1-2 \cdot 1) \right ) = 0[/mm]
>
> [mm]\frac{d}{dt} \left ( t \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t - 2t^2 \right ) = 1 - 4t[/mm]
>
> [mm]\frac{d}{dt} \left ( t^2 \cdot (1-2 \cdot t^2) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t^2 - 2t^4 \right ) = 2t - 8t^3[/mm]
>
> [mm]\frac{d}{dt} \left ( t^3 \cdot (1-2 \cdot t^3) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t^3 - 2t^6 \right ) = 3t^2 - 12t^5[/mm]
Vom Prinzip ist das Vorgehen richtig.
Du hast aber die Funktion "[mm]\varphi : V \to V[/mm]
[mm]p \mapsto \frac{d}{dt} \left( p(t) \cdot (1-2t) \right)[/mm]" nicht richtig angewendet.
Das Polynom p(t) soll immer mit dem selben Polynom
1. Grades (1-2t) multipliziert werden, bevor differenziert werden soll.
Also:
[mm]\frac{d}{dt} \left ( 1 \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \ldots[/mm]
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \frac{d}{dt} \left ( t - 2t^2 \right ) = 1 - 4t[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t^2 \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \ldots [/mm]
[mm]\frac{d}{dt} \left ( t^3 \cdot (1-2 \cdot t) \right ) = \ldots [/mm]
Dann klappt das auch mit der quadratischen Matrix.
> Daraus kann man dann die darstellende Matrix erstellen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -12 }[/mm]
>
> Das ist offensichtlich keine quadratische Matrix, weshalb
> ich hier auch keine Eigenwerte bestimmen kann.
>
> Was ist hier schiefgelaufen?
>
> Viele Grüße
> Patrick
Gruß
meili
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Hallo meili,
danke für Deine Antwort.
> Vom Prinzip ist das Vorgehen richtig.
>
> Du hast aber die Funktion "[mm]\varphi : V \to V[/mm]
> [mm]p \mapsto \frac{d}{dt} \left( p(t) \cdot (1-2t) \right)[/mm]"
> nicht richtig angewendet.
>
> Das Polynom p(t) soll immer mit dem selben Polynom
> 1. Grades (1-2t) multipliziert werden, bevor differenziert
> werden soll.
Da hast Du natürlich recht.
Ich komme jetzt auf folgende Darstellungsmatrix:
[mm]A:= \pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 } [/mm]
Hier habe ich dann die Determinante entwickelt und bin auf folgende Eigenwerte gekommen:
[mm]\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -4, \lambda_3 = -6, \lambda_4 = -8[/mm]
Für Teil b) habe ich dann [mm](A-\lambda_mE_n)[/mm] mit [mm]m=1,2,3,4[/mm] ermittelt, die jeweils resultierenden Matrizen mittels Gauß-Algorithmus in die ZSF umgeformt und dann die Eigenräume zu den genannten vier Eigenwerten berechnet. Eine Heidenarbeit, aber was soll's. Meine Ergebnisse:
[mm]V_{\lambda_1} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
[mm]V_{\lambda_2} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
[mm]V_{\lambda_3} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{1 \\ -4 \\ 4 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
[mm]V_{\lambda_4} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{-1 \\ 6 \\ -12 \\ 8} , s \in \IR \right \}[/mm]
Ist das so korrekt gelöst?
Vielen Dank und beste Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 29.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo meili,
>
> danke für Deine Antwort.
>
> > Vom Prinzip ist das Vorgehen richtig.
> >
> > Du hast aber die Funktion "[mm]\varphi : V \to V[/mm]
> > [mm]p \mapsto \frac{d}{dt} \left( p(t) \cdot (1-2t) \right)[/mm]"
>
> > nicht richtig angewendet.
> >
> > Das Polynom p(t) soll immer mit dem selben Polynom
> > 1. Grades (1-2t) multipliziert werden, bevor
> differenziert
> > werden soll.
>
> Da hast Du natürlich recht.
> Ich komme jetzt auf folgende Darstellungsmatrix:
>
> [mm]A:= \pmat{ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 }[/mm]
>
> Hier habe ich dann die Determinante entwickelt und bin auf
> folgende Eigenwerte gekommen:
> [mm]\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -4, \lambda_3 = -6, \lambda_4 = -8[/mm]
>
>
> Für Teil b) habe ich
> dann [mm](A-\lambda_mE_n)[/mm] mit [mm]m=1,2,3,4[/mm] ermittelt, die
> jeweils resultierenden Matrizen mittels Gauß-Algorithmus
> in die ZSF umgeformt und dann die Eigenräume zu den
> genannten vier Eigenwerten berechnet. Eine Heidenarbeit,
> aber was soll's. Meine Ergebnisse:
>
> [mm]V_{\lambda_1} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
>
> [mm]V_{\lambda_2} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
>
> [mm]V_{\lambda_3} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{1 \\ -4 \\ 4 \\ 0} , s \in \IR \right \}[/mm]
>
> [mm]V_{\lambda_4} = \left \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in \IR^4 | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = s \cdot \vektor{-1 \\ 6 \\ -12 \\ 8} , s \in \IR \right \}[/mm]
>
> Ist das so korrekt gelöst?
Ja, das ist es.
FRED
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> Vielen Dank und beste Grüße
> Patrick
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