Eigenwerte orthogonale Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 01.05.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Sei A ∈ [mm] O_m(\IR)
[/mm]
a) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen. Alle komplexen Eigenwerte von A sind reell.
b) Sei λ ∈ [mm] \IR [/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λ = ±1.
c) Sei v ∈ [mm] \IR^m [/mm] mit Av = ±v und u ∈ [mm] \IR^m [/mm] mit <u,v> = 0. Schliessen Sie <Au,v> = 0. |
Hallo,
ich wäre bei a.) sehr froh um einen Tipp für einen Ansatz. Dass reelle Eigenwerte nur ±1 leuchtet mir ein. Aber ich weiss nicht wie ich beweisen soll, dass es auch noch komplexe Eigenwerte gibt.
b.)
sei x= (x1, ..., [mm] x_m) [/mm] Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \Lambda
[/mm]
[mm] \left|| x \right|| [/mm] = [mm] \left|| Ax \right|| [/mm] = [mm] \left|| \Lambda*x \right|| =\wurzel{\Lambda^2*x_1^2 +... + \Lambda^2*x_m^2 } [/mm] = [mm] \wurzel{\Lambda^2*(x_1^2 +... + x_m^2 )} [/mm] = [mm] \left| \Lambda \right|*\left|| x \right|| [/mm]
also [mm] \left| \Lambda \right|= [/mm] 1
und [mm] \Lambda [/mm] = ±1
c.)
Wenn A [mm] \in O_m(\IR) [/mm] gilt, u,v [mm] \in \IR^m [/mm] gilt:
<Au,Av> = <u,v>
0 = <u,v> = <Au,Av> = <Au, ±v>
Also ist <Au, v>= 0
Stimmt das so???
Danke für die Hilfe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 01.05.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Franzi17,
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen.
eine kleine Anmerkung: es müssen ja nicht alle Aussagen gelten, es gilt entsprechendes zu beweisen oder zu wiederlegen 
Bin noch nicht so firm im Thema, aber diese Bemerkung musste ich loswerden.
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo,
> Sei A ∈ [mm]O_m(\IR)[/mm]
> a) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen.
> Alle komplexen Eigenwerte von A sind reell.
> b) Sei λ ∈ [mm]\IR[/mm] ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λ
> = ±1.
> c) Sei v ∈ [mm]\IR^m[/mm] mit Av = ±v und u ∈ [mm]\IR^m[/mm] mit <u,v>
> = 0. Schliessen Sie <Au,v> = 0.
> Hallo,
>
> ich wäre bei a.) sehr froh um einen Tipp für einen
> Ansatz. Dass reelle Eigenwerte nur ±1 leuchtet mir ein.
> Aber ich weiss nicht wie ich beweisen soll, dass es auch
> noch komplexe Eigenwerte gibt.
Um die Aussage zu widerlegen, reicht es ja, ein Beispiel für eine orthogonale Matrix zu finden, die nicht nur reelle Eigenwerte hat. Und das sollte machbar sein, wenn du dir überlegst, wie z.B. orthogonale 2x2-Matrizen konkret aussehen.
>
> b.)
> sei x= (x1, ..., [mm]x_m)[/mm] Eigenvektor von A zum Eigenwert
> [mm]\Lambda[/mm]
> [mm]\left|| x \right||[/mm] = [mm]\left|| Ax \right||[/mm] = [mm]\left|| \Lambda*x \right|| =\wurzel{\Lambda^2*x_1^2 +... + \Lambda^2*x_m^2 }[/mm]
> = [mm]\wurzel{\Lambda^2*(x_1^2 +... + x_m^2 )}[/mm] = [mm]\left| \Lambda \right|*\left|| x \right||[/mm]
>
>
> also [mm]\left| \Lambda \right|=[/mm] 1
> und [mm]\Lambda[/mm] = ±1
Stimmt. Wobei [mm]\|\Lambda x\|=|\Lambda|*\|x\|[/mm] direkt aus der Homogenität der Norm folgt, so dass man sich den Teil mit den Wurzeln sparen kann.
>
>
> c.)
> Wenn A [mm]\in O_m(\IR)[/mm] gilt, u,v [mm]\in \IR^m[/mm] gilt:
> <Au,Av> = <u,v>
>
> 0 = <u,v> = <Au,Av> = <Au, ±v>
[mm]=\pm [/mm]
Passt auch.
>
> Also ist <Au, v>= 0
>
> Stimmt das so???
> Danke für die Hilfe!!
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