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| Aufgabe | | Betrachten Sie den Vektorraum [mm] \IR[X] [/mm] der reellen Polynome mit der linearen Abbildung D: [mm] \IR[X]\to \IR[X], [/mm] D(f)(X)=f'(X). Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von D. |
hallo,
wenn von Eigenräumen und Eigenvektoren die Rede ist, dann fällt sofort auch das Stichwort charakteristisches Polynom,dass aufgelöst dann zum Ergebnis führt.
Aber ich schaffe es bei dieser Aufgabe nicht vom bekannten Lösungschema(nämlich bei gegebener Matrix über char.Polyn.) zu abstrahieren. Ich glaube, ich scheitere schon beim Formalismus.
Daher meine erste Frage: was ist mit D(f)(X)=f'(X) gemeint?
(ich kenne bloß den Ausdruck D(f) für den Def.bereich)
auch wenn es mir bei dieser Affenhitze nicht sehr wahrscheinlich erscheint, dass jemand vorm Rechner sitzt, hoffe ich trotzdem auf etwas Hilfe.
richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 04.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Also mit dem charakteristischen Polynom wirst du hier nichts reißen können, da [mm] $\IR[X]$ [/mm] nicht endlich-dimensional über [mm] $\IR$ [/mm] ist. Du sollst jetzt die lineare Abbildung [mm] $D:\IR[X]\ni f\mapsto f'\in\IR[X]$ [/mm] betrachten, die einem Polynom seine Ableitung (wieder ein Polynom!) zuordnet (aus Analysis I weißt du, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist!). D(f) ist also nichts weiter als die Ableitung des Polynoms [mm] $f\in\IR[X]$.
[/mm]
Du sollst dir jetzt überlegen was die Eigenwerte und Eigenräume von D sind. Nur so als Tipp: Es gibt nur einen möglichen Eigenwert und der zugehörige Eigenraum ist eindimensional...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 So 04.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Zusammen,
Mal vorneweg: Sry wenn ich hier die Lösung jetzt angebe, aber mir ist was nicht ganz klar bezüglich dem was Robert gesagt hat. "Es gibt nur einen Eigenwert".
Ich verstehe die Aufgabe so, das für z.B. ein Polynom 3. Ordnung die Matrix so aussieht:
M = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Bestimmt man das Charakteristische Polynom und setz es gleich Null erhält man doch [mm] (-\lambda)^{4} [/mm] = 0
Eigenwerte können doch auch Komplex sein, dann gibt es doch beim Wurzelziehen 4 verschiedene Eigenwerte?
Gruss
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> Ich verstehe die Aufgabe so, das für z.B. ein Polynom 3.
> Ordnung die Matrix so aussieht:
Hallo,
beachte, daß sich in der Aufgabe um einen Endomorphismus eines unendlichdimensionalen Vektorraumes handelt.
Wir haben hier keine Darstellungsmatrix - diese müßte ja verflixt groß sein...
Herauszufinden ist nun, für welche Polynome p(x) es ein [mm] \lambda [/mm] gibt mit : [mm] p'(x)=\lambda [/mm] p(x).
Du kannst natürlich die Aufgabe aus Spaß auch mal im Raum der Polynome vom Höchstgrad 3 lösen:
Hier ist
> M = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis [mm] B=(1,x,x^2,x^3).
[/mm]
>
> Bestimmt man das Charakteristische Polynom und setz es
> gleich Null erhält man doch [mm](-\lambda)^{4}[/mm] = 0
Ja. Und daraus folgt: [mm] \lambda=0 [/mm] und sonst nichts.
> Eigenwerte können doch auch Komplex sein, dann gibt es
> doch beim Wurzelziehen 4 verschiedene Eigenwerte?
Bei Deiner Matrix gibt es keinen komplexen Eigenwert, sondern nur den Eigenwert 0 mit der algebraischen Vielfachheit 4.
Verwechselst Du das vielleicht gerade mit [mm] \lambda^4=1 [/mm] ?
Wenn man die reellen Eigenwerte sucht, hat man in diesem Falle 2, nämlich 1 und -1,
interessiert man sich für die komplexen, dann kommen i und -i hinzu.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Mo 05.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Uuups...
Danke... Ich hab das mit [mm] \lambda^{n} [/mm] = 1 verwechselt. War vielleicht schon ein bisschen spät am Abend.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 05.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Betrachten Sie den Vektorraum [mm]\IR[X][/mm] der reellen Polynome
> mit der linearen Abbildung D: [mm]\IR[X]\to \IR[X],[/mm]
> D(f)(X)=f'(X). Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume
> von D.
> hallo,
>
> wenn von Eigenräumen und Eigenvektoren die Rede ist, dann
> fällt sofort auch das Stichwort charakteristisches
> Polynom,dass aufgelöst dann zum Ergebnis führt.
> Aber ich schaffe es bei dieser Aufgabe nicht vom bekannten
> Lösungschema(nämlich bei gegebener Matrix über
> char.Polyn.) zu abstrahieren. Ich glaube, ich scheitere
> schon beim Formalismus.
>
> Daher meine erste Frage: was ist mit D(f)(X)=f'(X)
> gemeint?
> (ich kenne bloß den Ausdruck D(f) für den Def.bereich)
Du hast also [mm] V:=\{f: f:\IR\to\IR, f(x)=\summe_{i=0}^n a_ix^i, n\in \IN, a_i\in\IR\}, [/mm] also den Raum der reellen Polynome auf [mm] \IR [/mm] also Vektorraum.
Nun ist ein Operator (Abbildung , Funktion) [mm] D:V\to [/mm] V gegeben, nämlich der Operator des Differenzierens, der einem Polynom [mm] p\inV [/mm] seine Ableitungsfunktion D(p):=p' zuordnet, oder auch D(p)(x):=p'(x) wenn man es punktweise angeben möchte. D(p) ist ein Symbol für eine Funktion und D(p)(x) deren Wert an der Stelle x.
Nun sollst Du ein [mm] p\in [/mm] V finden, für das [mm] D(p)(x)=p'(x)=\lambda [/mm] p(x) für ALLE [mm] x\in\IR [/mm] gilt (ALLE deswegen, weil für die Gleichung [mm] D(p)=\lambda [/mm] p eine Gleichheit zwischen zwei Funktionen ist und zwei Funktionen sind nur gleich wenn sie an allen Stellen gleich sind).
D.h. jetzt wenn also [mm] p(x)=\summe_{i=0}^n a_ix^i [/mm] soll
[mm] (\summe_{i=0}^n a_ix^i)'=\lambda \summe_{i=0}^n a_ix^i
[/mm]
gelten. Und daraus erhälst Du deine Antwort durch Vergleich der Koeffizienten zu gleichen Potenzen von x.
LG
gfm
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