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| Aufgabe | Seien [mm] \alpha, \beta \in [/mm] End(V) mit [mm] \alpha\beta=\beta\alpha.
[/mm]
(a) Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \alpha. [/mm] Man zeige, dass der zugehörige Eigenraum [mm] V_\alpha (\lambda) [/mm] unter [mm] \beta [/mm] invariant ist.
(b) Seien zusätzlich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] diagonalisierbar. Man zeige, dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] einen gemeinsamen Eigenvektor besitzen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe so meine Probleme mit dieser Aufgabe der aktuellen LinAlg-Serie.
zu (a)
Seien [mm] \alpha, \beta \in [/mm] End(V) mit [mm] \alpha\beta=\beta\alpha. [/mm] Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenvektor v. Dann gilt [mm] V_\alpha (\lambda) [/mm] = [mm] \{v \in V | v\alpha = \lambda v\}. [/mm] Somit ist nach Vorlesung [mm] V_\alpha (\lambda) [/mm] ein Unterraum von V. Nun gilt bereits [mm] v\alpha [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v. Daraus folgt nun [mm] v\alpha\beta [/mm] = [mm] (v\alpha)\beta [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v [mm] \beta. [/mm]
Reicht das so schon als Beweis?
zu (b)
Hier habe ich leider keine Idee. Kann mir hier einer helfen?
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> Seien [mm]\alpha, \beta \in[/mm] End(V) mit
> [mm]\alpha\beta=\beta\alpha.[/mm]
>
> (a) Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]\alpha.[/mm] Man zeige, dass
> der zugehörige Eigenraum [mm]V_\alpha (\lambda)[/mm] unter [mm]\beta[/mm]
> invariant ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eure Schreibweise ist ungewöhnlich: Ihr schreibt die Abbildungen hinten dran. Solch einen Prof hatte ich auch mal, und das Studium anderer Bücher als des seinen war mühsam.
Na, egal. Ich mache das jetzt auch so für Dich.
> zu (a)
> Seien [mm]\alpha, \beta \in[/mm] End(V) mit
> [mm]\alpha\beta=\beta\alpha.[/mm] Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> [mm]\alpha[/mm] zum Eigenvektor v. Dann gilt [mm]V_\alpha (\lambda)[/mm] =
> [mm]\{v \in V | v\alpha = \lambda v\}.[/mm] Somit ist nach Vorlesung
> [mm]V_\alpha (\lambda)[/mm] ein Unterraum von V. Nun gilt bereits
> [mm]v\alpha[/mm] = [mm]\lambda[/mm] v. Daraus folgt nun [mm]v\alpha\beta[/mm] =
> [mm](v\alpha)\beta[/mm] = [mm]\lambda[/mm] v [mm]\beta.[/mm]
>
> Reicht das so schon als Beweis?
Noch nicht ganz.
Sei v [mm] \in V_\alpha.
[/mm]
==> [mm] v\alpha [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v
[mm] ==>v\alpha\beta [/mm] = [mm] \lambda v\beta
[/mm]
[mm] ==>v\beta\alpha [/mm] = [mm] \lambda v\beta
[/mm]
==> [mm] v\beta \in V_\alpha
[/mm]
==> Beh.
Du hättest also hier
> Daraus folgt nun [mm]v\alpha\beta[/mm] =
> [mm](v\alpha)\beta[/mm] = [mm]\lambda[/mm] v [mm]\beta.[/mm]
noch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] vertauschen müssen.
Gruß v. Angela
> zu (b)
> Hier habe ich leider keine Idee. Kann mir hier einer
> helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:19 Mo 07.05.2007 | | Autor: | susimarie |
Hallo.
Okay, dann war ich ja immerhin auf dem richtigen Weg ;)
Hat noch jemand einen Tipp zu (b)? Damit komme ich überhaupt nicht klar...
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> (a) Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]\alpha.[/mm] Man zeige, dass
> der zugehörige Eigenraum [mm]V_\alpha (\lambda)[/mm] unter [mm]\beta[/mm]
> invariant ist.
>
> (b) Seien zusätzlich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] diagonalisierbar. Man
> zeige, dass [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] einen gemeinsamen Eigenvektor
> besitzen.
Hallo,
nun zu b).
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind diagonalisierbar, also ist V die direkte Summe der jeweiligen Eigenräume:
(*) [mm] \bigoplus_{i}V_\alpha (\lambda_i)= V=\bigoplus_{j}V_\beta (\mu_j) [/mm]
Sei nun y ein EV von [mm] \beta [/mm] zum EW [mm] \mu_j.
[/mm]
(**)Dann ist [mm] y\beta=\mu_jy.
[/mm]
Wegen (*) kann man y schreiben als [mm] y=\summe_{i}r_ix_i [/mm] mit [mm] x_i\in V_\alpha (\lambda_i).
[/mm]
Aus (**) bekommt man hiermit
[mm] (\summe_{i}r_ix_i)\beta=\mu_j(\summe_{i}r_ix_i)
[/mm]
<==>(***) [mm] \summe_{i}r_ix_i\beta=\summe_{i}r_i\mu_jx_i
[/mm]
In Teil a) hast Du die Invarianz der Eigenräume von [mm] \alpha [/mm] unter [mm] \beta [/mm] gezeigt.
Also ist [mm] x_i\beta \in V_\alpha (\lambda_i).
[/mm]
Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung folgt hiermit aus (***)
[mm] r_ix_i\beta=r_i\mu_jx_i [/mm] für alle i
Da y Eigenvektor ist, ist [mm] y\not=0, [/mm] und somit ist mindestens eines der [mm] r_i\not=0.
[/mm]
==> es gibt ein i mit [mm] x_i\beta=\mu_jx_i
[/mm]
==> [mm] x_i [/mm] ist EV von [mm] \beta [/mm]
(und wegen [mm] x_i\in V_\alpha (\lambda_i) [/mm] natürlich auch von [mm] \alpha)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
beim erneuten Durchlesen meines Beweises zu Teil b) bin ich etwas skeptisch:
ich habe die Voraussetzung, daß [mm] \beta [/mm] auch diagonalisierbar ist, überhaupt nicht benötigt.
Habe ich da etwas falsch gemacht, oder sollte es so sein, daß tatsächlich eine überflüssige Voraussetzung serviert wurde?
Vielleicht kann ja mal jemand drübergucken.
Mich würd's interessieren.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 09.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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