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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 25.07.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] M=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
1) Bestimmen Sie die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} [/mm] von M.
2) Bestimmen Sie die Eigenvektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] von M.
Lassen Sie dabei auch komplexe Zahlen als Eigenwerte und in den Eigenvektoren zu. |
So, ja also die Eigenwerte konnte ich so schon berechnen:
[mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2,3}=\pm [/mm] i
Jetzt zu meiner Frage: Wie komme ich auf die Eigenvektoren (weil die Lösung die ich vorliegen habe verstehe ich nicht so ganz) und warum schreibt der Prof. in der Lösung folgendes?:
[mm] \lambda_{1}=0--> v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ \gamma}
[/mm]
[mm] \gamma=exp(ix)
[/mm]
Wie kommt er darauf und warum wird die e-Funktion verwendet?
Danke für die kommenden Antworten^^
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> Gegeben sei die Matrix [mm]M=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.[/mm]
>
> 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}[/mm]
> von M.
> 2) Bestimmen Sie die Eigenvektoren [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] von
> M.
> Lassen Sie dabei auch komplexe Zahlen als Eigenwerte und
> in den Eigenvektoren zu.
> So, ja also die Eigenwerte konnte ich so schon berechnen:
> [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2,3}=\pm[/mm] i
> Jetzt zu meiner Frage: Wie komme ich auf die Eigenvektoren
Hallo,
wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist, so bekommst Du die zugehörigen Eigenvektoren, indem Du den Kern von [mm] A-\lambda [/mm] E berechnest.
Um eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda_0=0 [/mm] zu berechnen, berechnet man also eine Basis von [mm] Kern(A-0*E)=kernA=Kern\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Zeilenstufenform --> [mm] \pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & 01& 0 \\ 0 & 0 & 0 }, [/mm] und man liest ab, daß Kern [mm] A=<\vektor{0\\0\\1}>. [/mm] Es ist somit [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
(Falls Du mit der Bestimmung des Kerns Probleme hast, frag nochmal nach. Ich gehe zunächst davon aus, daß Du das kannst.)
Was Dein Prof. will, verstehe ich im Moment auch nicht so recht - ich weiß auch nicht so recht, was er mit dem x in exp(ix) meint.
Für [mm] \lambda_2=i [/mm] dann entsprechend: berechne Kern(A-i*E), indem Du A-i*E auf ZSF bringst.
Wie das für [mm] \lambda_3 [/mm] dann geht, wirst Du selbst wissen.
Gruß v. Angela
> (weil die Lösung die ich vorliegen habe verstehe ich nicht
> so ganz) und warum schreibt der Prof. in der Lösung
> folgendes?:
> [mm]\lambda_{1}=0--> v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ \gamma}[/mm]
>
> [mm]\gamma=exp(ix)[/mm]
> Wie kommt er darauf und warum wird die e-Funktion
> verwendet?
> Danke für die kommenden Antworten^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 25.07.2010 | | Autor: | Vampiry |
also kann es sein, dass [mm] \gamma [/mm] eine unbestimmte Variable ist, da [mm] x_{3} [/mm] immer mit 0 multipliziert wird? und da wärs ja dann egal, ob man (0/0/1) oder (0/0/2) als Eigenvektor hat, oder?
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Hallo Vampiry,
> also kann es sein, dass [mm]\gamma[/mm] eine unbestimmte Variable
> ist, da [mm]x_{3}[/mm] immer mit 0 multipliziert wird? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, daher ist [mm] $x_3$ [/mm] frei wählbar als irgendein [mm] $\gamma\in\IC$
[/mm]
> und da wärs ja dann egal, ob man (0/0/1) oder (0/0/2) als Eigenvektor
> hat, oder?
Genau, jeder Vektor der Form [mm] $\vektor{0\\0\\\gamma}$ [/mm] mit [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$ tut's als EV, [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$, da der Nullvektor, den du sonst erhieltest, per definitionem kein EV ist.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 25.07.2010 | | Autor: | Vampiry |
ok danke für eure Hilfe!^^
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Hallo,
mit
> [mm]\lambda_{1}=0--> v_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ \gamma}[/mm]
>
> [mm]\gamma=exp(ix)[/mm]
ist wohl gemeint:
für jedes x aus [mm] \IR [/mm] ist der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \gamma} [/mm] mit [mm] \gamma=exp(ix)=cos(x)+i*sin(x) [/mm] eine normierte Basis zum Eigenraum zu [mm] \lambda=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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