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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 29.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Gegeben sei die reelle 3 x 3 Matrix
[mm] A_\alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & \alpha \\ 0 & 4 & 0}
[/mm]
die von einem reellen Parameter [mm] \alpha [/mm] abhängt.
(a) Bestimmen Sie alle Werte von [mm] \alpha \in \IR, [/mm] für welche die Matrix [mm] A_\alpha [/mm] nur reelle Eigenwerte besitzt. Geben
Sie diese Eigenwerte in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] an.
(b) Bestimmen Sie ein [mm] \alpha \in \IR, [/mm] für das die Matrix [mm] A_\alpha [/mm] genau zwei verschiedene reelle Eigenwerte besitzt.
Geben Sie diese Eigenwerte an und berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
(c) Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist die Abbildung [mm] \IR^3 \to \IR^3, [/mm] x [mm] \to A_\alpha [/mm] x bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo!
wollte nur fragen ob eine von euch mal drüber schauen kann ob ich alles richtig gemacht habe.^^
a)
(1) das Charak. Polynom bilden
[mm] A_\alpha [/mm] - [mm] \lambda [/mm] E = [mm] \pmat{ 0-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & 4-\lambda & \alpha \\ 0 & 4 & 0-\lambda} [/mm] = [mm] \pmat{ -\lambda & 2 & 0 \\ 2 & 4-\lambda & \alpha \\ 0 & 4 & -\lambda}
[/mm]
[mm] det(A_\alpha [/mm] - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] 4\lambda^2 +4\lambda +4\alpha \lambda [/mm] = [mm] \lambda (-\lambda^2 [/mm] + [mm] 4\lambda +4+4\alpha)
[/mm]
(2) Eigenwerte Berechnen
[mm] \lambda (-\lambda^2 [/mm] + [mm] 4\lambda +4+4\alpha) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] -\lambda^2 [/mm] + [mm] 4\lambda +4+4\alpha [/mm] = 0 / *-1
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 4\lambda -4-4\alpha [/mm] = 0
pq - formel p= -4 ; q = [mm] -4-4\alpha
[/mm]
(3) Ergebnis
[mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{-4}{2} \pm \wurzel{((\bruch{-4}{2})^2 + (4+4\alpha) )} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{(4+ (4+4\alpha) )}
[/mm]
damit es nur Reelle Eigenwerte gibt muss [mm] \alpha \ge [/mm] -2 sein (da für diesen wertbereich von [mm] \alpha [/mm] die würzel nicht negativ wird und somit nicht ins komplexe überwechselt)
b)
für [mm] \alpha [/mm] = -1 gibt es genau zwei reele Eigenwerte
nämlich der doppelte Eigenwert 0 und der Eigenwert 4
Eigenvektoren berrechnen
(1) Eigenvektoren für 0
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0} [/mm] *v = 0
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ; [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
(2) Eigenvektor für 4
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0} [/mm] * [mm] v_3 [/mm] = 0
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm]
c)
hier zu brauch ich noch ein tipp fehlt mir nichts zu ein
MFG
Der Koso
Dank im Vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 29.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
> >
> > Eigenvektoren berrechnen
> > (1) Eigenvektoren für 0
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0}[/mm] *v = 0
> >
> > [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ; [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> Diese Eigenvektoren stimmen nicht.
>
stimmt^^ hab mich vertippt^^
sollte jetzt stimmen
[mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ; [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> > c)
> > hier zu brauch ich noch ein tipp fehlt mir nichts zu ein
>
> Untersuche die Matrix [mm]A_{\alpha}[/mm] auf Regularität.
>
A = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0} [/mm]
da det(A) = 0 also nicht Regulär und dem entsprechend nicht bijektiv
ist es so Richtig ?
MFG
DerKoso
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Hallo DerKoso,
> Hallo MathePower,
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> > >
> > > Eigenvektoren berrechnen
> > > (1) Eigenvektoren für 0
> > >
> > > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0}[/mm] *v = 0
> > >
> > > [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ; [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > Diese Eigenvektoren stimmen nicht.
> >
>
> stimmt^^ hab mich vertippt^^
>
> sollte jetzt stimmen
>
Ja, aber der Nullvektor kann kein Eigenvektor sein.
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ; [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
>
> > > c)
> > > hier zu brauch ich noch ein tipp fehlt mir nichts zu ein
> >
> > Untersuche die Matrix [mm]A_{\alpha}[/mm] auf Regularität.
> >
> A = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & 0}[/mm]
>
> da det(A) = 0 also nicht Regulär und dem entsprechend
> nicht bijektiv
>
>
>
> ist es so Richtig ?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> MFG
>
> DerKoso
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 29.12.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei [mm] \alpha=-2 [/mm] ergeben sich auch zwei unterschiedliche Eigenwerte, nämlich [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 29.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Hi,
>
> bei [mm]\alpha=-2[/mm] ergeben sich auch zwei unterschiedliche
> Eigenwerte, nämlich [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=2[/mm]
Ja stimmt ist mir net aufgefallen^^
Danke noch mal für deine Hilfe Mathepower
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