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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 19.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
Hallo
ich habe hier eine ziemlich unanbenehme Matrix zu der ich die Eigenwerte und die Eigenvektoren brauche um daraus dann eine orthogonale Matrix zu ertstellen
[mm] $A=\pmat{ 3&0&2\wurzel{2}\\0&3&-1 \\ 2\wurzel{2}&-1&3 }$
[/mm]
Als Eigenwerte bekomme ich raus:
[mm] $\lambda_1=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=\frac{9+\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3=\frac{9-\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
Bei den Eigenvektoren habe ich große Probleme
[mm] $\pmat{ 3-\lambda&0&2\wurzel{2}&|&0\\0&3-\lambda&-1&|&0 \\ 2\wurzel{2}&-1&3-\lambda&|&0 }$
[/mm]
(1. zeile mulptipliziert mit [mm] $-\frac{2\wurzel{2}}{3-\lambda}$ [/mm] und zur 3. Addiert)
[mm] $\pmat{ 3-\lambda&0&2\wurzel{2}&|&0\\0&3-\lambda&-1&|&0 \\ 0&-1&\frac{(3-\lambda)^2-16}{3-\lambda}&|&0 }$
[/mm]
3. Zeile mit [mm] $3-\lambda$ [/mm] multipliziert + 2. zeile:
[mm] $\pmat{ 3-\lambda&0&2\wurzel{2}&|&0\\0&0&(3-\lambda)^2-17&|&0 \\ 0&-1&\frac{(3-\lambda)^2-16}{3-\lambda}&|&0 }$
[/mm]
Habe ich mich irgendwo verrechnet?
Wie bekomme ich die Eigenvektoren heraus?
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Deine Eigenwerte sind falsch.
Diese lauten nach einer relativ einfachen Rechnung (viele 0-Zeilen)
[mm] $(3-\lambda{})*[(3-\lambda{})^2-9]=0$.
[/mm]
Schau mal, ob du darauf kommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 19.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
> Deine Eigenwerte sind falsch.
>
> Diese lauten nach einer relativ einfachen Rechnung (viele
> 0-Zeilen)
>
> [mm](3-\lambda{})*[(3-\lambda{})^2-9]=0[/mm].
>
> Schau mal, ob du darauf kommst.
Oh ja danke für die Korrektur :)
dann sind die Eigenwerte also 0 und 3?
Dann bekomme ich heraus als Eigenvektoren:
$x=(1, [mm] 2\wurzel{2},0)$
[/mm]
und
[mm] $x=(-2\wurzel{2}, [/mm] 1, 3)$
oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 19.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> > Deine Eigenwerte sind falsch.
> >
> > Diese lauten nach einer relativ einfachen Rechnung (viele
> > 0-Zeilen)
> >
> > [mm](3-\lambda{})*[(3-\lambda{})^2-9]=0[/mm].
> >
> > Schau mal, ob du darauf kommst.
> Oh ja danke für die Korrektur :)
> dann sind die Eigenwerte also 0 und 3?
die stimmen, aber es fehlt noch einer.
>
>
> Dann bekomme ich heraus als Eigenvektoren:
> [mm]x=(1, 2\wurzel{2},0)[/mm]
> und
> [mm]x=(-2\wurzel{2}, 1, 3)[/mm]
>
> oder?
nein, beide falsch. Zeig mal Deine Rechnung.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 19.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
> Hallo,
>
> > > Deine Eigenwerte sind falsch.
> > >
> > > Diese lauten nach einer relativ einfachen Rechnung (viele
> > > 0-Zeilen)
> > >
> > > [mm](3-\lambda{})*[(3-\lambda{})^2-9]=0[/mm].
> > >
> > > Schau mal, ob du darauf kommst.
> > Oh ja danke für die Korrektur :)
> > dann sind die Eigenwerte also 0 und 3?
>
> die stimmen, aber es fehlt noch einer.
>
Achso ja 6 fehlt noch
> >
> >
> > Dann bekomme ich heraus als Eigenvektoren:
> > [mm]x=(1, 2\wurzel{2},0)[/mm]
> > und
> > [mm]x=(-2\wurzel{2}, 1, 3)[/mm]
> >
> > oder?
>
> nein, beide falsch. Zeig mal Deine Rechnung.
>
für [mm] $\lambda=0$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&3&-1&|&0 \\ 2\wurzel{2}&-1&3&|&0 }$
[/mm]
1 Zeile mal [mm] $-\frac{2}{3}\wurzel{2}$ [/mm] udn auf 3. zeile addiert
[mm] $\pmat{ 3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&3&-1&|&0 \\ 0&-1&\frac{1}{3}&|&0 }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&3&-1&|&0 \\ 0&0&0&|&0 }$
[/mm]
[mm] $x_2=\frac{1}{3}x_3$
[/mm]
[mm] $x_1=-\frac{2}{3}\wurzel{2}x_3$
[/mm]
also für [mm] $x_3=3$
[/mm]
[mm] (-2\wurzel{2} [/mm] , 1 , 3)
für Eigenwert 3
[mm] \pmat{ 0 & 0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0 & 0&-1&|&0\\ 2\wurzel{2}&-1&0&|&0 }
[/mm]
[mm] $x_3=0$
[/mm]
[mm] $x_1=\frac{1}{2\wurzel{2}}x_2$
[/mm]
für [mm] $x_2=2\wurzel{2}$ [/mm] ist [mm] $x_1=1$
[/mm]
das ergibt
$x=( 1 , [mm] 2\wurzel{2} [/mm] , 0)$
für Eigenwert 6
[mm] $\pmat{ -3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&-3&-1&|&0 \\ 2\wurzel{2}&-1&-3&|&0 }$
[/mm]
1. Zeile mal [mm] $\frac{2\wurzel{2}}{3}$ [/mm] addiert mit zeile 3
[mm] $\pmat{ -3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&-3&-1&|&0 \\ 0&-1&-\frac{1}{3}&|&0 }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ -3&0&2\wurzel{2}&|&0 \\ 0&-3&-1&|&0 \\ 0&0&0&|&0 }$
[/mm]
[mm] $x_2=-\frac{1}{3}x_3$
[/mm]
[mm] $x_1=\frac{2}{3}\wurzel{2}x_3$
[/mm]
für [mm] $x_3=3$
[/mm]
[mm] $x=(2\wurzel{2} [/mm] , -1 , 3)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 19.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
Ist das wirklich falsch? ich finde den Fehler einfach nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 20.01.2013 | | Autor: | notinX |
> Ist das wirklich falsch? ich finde den Fehler einfach
> nicht.
Tut mir leid, ich habe Dich wohl verwirrt. Ich habe andere Eigenvektoren ausgerechnet, aber jeder Vielfache eines Eigenvektors ist wieder ein Eigenvektor. Angela hat natürlich Recht, Deine Vektoren sind richtig.
Gruß,
notinX
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Hallo,
Deine Eigenwerte und -vektoren sind richtig.
LG Angela
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