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| Aufgabe | Gegeb sei die 3x3 Matrix A= ( 2 -3 -3 )
( -3 -3 2 )
( -3 2 -3 )
a) Zeigen Sie, dass für das charakteristische Polynom der Matrix A
PA(X)= (5+X)(4+X)(5-X) gilt.
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
c) Bestimmen Sie zum kleinsten Eigenwert alle zugehörigen Eigenvektoren. |
Ich habe Schwierigkeiten mit Aufgabenteil a).
Um mir die Aufgabe zu vereinfachen, habe ich mit dem Gaußschem Algorythmus die Matrix A in eine Diagonalmatrix umgeformt.
Äquivalenzumformungen:
1. (2) - (3)
2. 2(3)+3(1)
3. 5(3')-3(2')
A'= ( 2 -3 -3 )
( 0 -5 5 )
( 0 0 -90 )
Daraus folgt:
det(A') = 2(-5)(-90)=900
PA'(x) = (2-x)(-5-X)(-90-X)
PA(x) ungleich PA'(x)
Wo liegt der Rechenfehler oder der Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im voraus!
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> Gegeb sei die 3x3 Matrix A= ( 2 -3 -3 )
> ( -3 -3 2 )
> ( -3 2 -3 )
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> a) Zeigen Sie, dass für das charakteristische Polynom der
> Matrix A
> PA(X)= (5+X)(4+X)(5-X) gilt.
> b) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
> c) Bestimmen Sie zum kleinsten Eigenwert alle zugehörigen
> Eigenvektoren.
> Ich habe Schwierigkeiten mit Aufgabenteil a).
> Um mir die Aufgabe zu vereinfachen, habe ich mit dem
> Gaußschem Algorythmus die Matrix A in eine Diagonalmatrix
> umgeformt.
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> Äquivalenzumformungen:
> 1. (2) - (3)
> 2. 2(3)+3(1)
> 3. 5(3')-3(2')
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> A'= ( 2 -3 -3 )
> ( 0 -5 5 )
> ( 0 0 -90 )
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> Daraus folgt:
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> det(A') = 2(-5)(-90)=900
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> PA'(x) = (2-x)(-5-X)(-90-X)
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> PA(x) ungleich PA'(x)
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> Wo liegt der Rechenfehler oder der Denkfehler?
Der Fehler liegt in der Tatsache (die ich mir auch erst wieder überlegen musste), dass du hier Eigenwerte berechnest! Diese gehören fest zu dieser EINEN Matrix, da darfst du nicht die Werte ändern! Du bist ja nicht mehr z.B. bei Vektoren oder Gleichungssystemen, sondern bei Eigenwerten geht es ja um die Beziehung [mm] $A*v=\lambda{}v$, [/mm] also eine Abbildungsmatrix, die einen Vektor auf ein Vielfaches von sich selbst projiziiert. Dabei betrachtest du zur Bestimmung eben das charakteristische Polynom. Daher gilt VON ANFANG AN:
[mm] $\vmat{ 2-\lambda{} & 2-3 & -3 \\ -3 & -3-\lambda{} & 2 \\ -3 & 2 & -3-\lambda{}}$. [/mm] Diese Determinante muss bestimmt werden. Willst du jetzt diese Det vereinfachen, musst du auch DIESE umformen. Alles andere macht ja keinen Sinn, du kannst ja nicht die zugrundeliegende Abbildungsmatrix verändern und dann erwarten, dass die gleichen Eigenwerte rauskommen. Nur die korrekte Determinante darf jetzt vereinfacht werden, was aber aufgrund des Parameters nicht mehr wirklich sinnvoll ist.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Vielen Dank im voraus!
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