Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Di 06.07.2004 | | Autor: | maik2004 |
Hallo.
Ich habe folgende Matrix A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Davon soll ich die Eigenwerte und eigenvektoren bestimmen.
Meine Ergebnisse sind: [mm] x_1 [/mm] = 1 + 2 = 3 , [mm] x_2 [/mm] = 1 - 2 = -1 für die Eigenwerte und für den Eigenvektor
(A,3) = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
Nun sollen wir mit dieser Matrix noch etwas machen.
Wir sollen ein S [mm] \in [/mm] Gl(2) bestimmen, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalgestalt hat.
Da weiss ich nicht wie ich da herangehen soll.
Vielen dank schon einmal für eure Hilfe.
mfg Maik
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:18 Mi 07.07.2004 | | Autor: | maik2004 |
hmmm
Also entweder ist es schon zu spät oder ich bin einfach unfähig was das Rechnen betrifft :(
Ich komm wieder auf solche Werte.
Als Eigenvektor für -1 bekomme ich [mm] (A,-1)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
und für 3 komme ich jetzt ebenfalls auf [mm] (A,3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Also ich geh mal schwer davon aus, dass ich mich wieder irgendwo verrechnet habe, oder sollten diese Werte doch stimmen?
Bin gerade ein wenig verzweifelt :(
Ich habs jetzt 3 mal gerechnet und komme immer wieder auf die Werte.
mfg maik
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Vorsicht: wenn man sich auf die Suche nach Eigenvektoren macht, dann sollen das immer Vektoren sein, die nicht der Nullvektor sind. D.h., wenn du in die Gleichung, die auch Paulus gepostet hat, einen Eigenwert einsetzt, dann muss mittels Gauß-Umformungen immer mindestens eine Zeile rausfallen! Und so bekommst du dann einen Nicht-Nullvektor, der die Gleichung trotzdem löst, und das ist dann der Eigenvektor.
Und Paulus hat recht, dein Eigenvektor zum EW 3 stimmt nicht. Ist sehr ähnlich, also nur knapp vorbei 
Die Matrix S, um die es da geht, wird dann aus deinen beiden Eigenvektoren bestehen. Wenn du sie dann invertierst, und in diese gegebene Gleichung einsetzt, dann wirst du wohl ne Überraschung erleben, wenn du dich nicht verrechnest (guck dir dann am Ende einfach mal diese Diagonalgestalt an, und dann nochmal deine Eigenwerte).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 07.07.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
also ich hab für die Eigenvektoren folgendes raus:
für Eigenwert 3 [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] ( wie so schön erklärt, vielen Dank!!!)
und für Eigenwert -1 [mm] \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
Aber mit dem Rest der Aufgabe komm ich auch nicht klar!! Das heißt ein S [mm] \in [/mm] Gl (2) so dass [mm] S^{-1} [/mm] AS Diagonalgestalt hat.
Kann mir da jemand helfen, wär lieb!!!
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tine
> Hallo,
> also ich hab für die Eigenvektoren folgendes raus:
> für Eigenwert 3 [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] ( wie so schön erklärt,
> vielen Dank!!!)
> und für Eigenwert -1 [mm]\vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
>
Hast du diesen Vektor denn überprüft, ob er die Bedingung erfüllt, ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ zu sein? Ich schon! Und mein Ergebnis: du hast Recht!! Es ist ein Eigenvektor!
> Aber mit dem Rest der Aufgabe komm ich auch nicht klar!!
> Das heißt ein S [mm]\in[/mm] Gl (2) so dass [mm]S^{-1}[/mm] AS
> Diagonalgestalt hat.
>
> Kann mir da jemand helfen, wär lieb!!!
>
Also: wenn man die Eigenwerte als neue Basis des Vektorraumes nimmt, dann sollte die Abbildungsmatrix eine recht einfache Form erhalten, nämlich logischerweise eine Diagonalform mit den Eigenwerten in der Diagonale.
Somit brauchen wir eine Basistransformation: den 1. Basisvektor bilden wir auf den 1. Eigenvektor ab, den 2. Basisvektor auf den 2. Eigenvektor. Wir können also einfach die Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix $S$ einsetzen. Also:
[mm] $S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Das ist bereits die gesuchte Matrix $S$.
Davon musst du nur noch die inverse Matrix berechnen und überprüfen, ob durch Matrixmultiplikation [mm] $S^{-1}*A*S$ [/mm] tatsächlich eine Diagonalmatrix entsteht (Mit den Diagonalelementen $3$ und $-1$)
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 07.07.2004 | | Autor: | maik2004 |
ja genau dass habe ich jetzt endlich auch raus tine.
nun nimmst du die beiden eigenvektoren und baust daraus ne matrix.
diese matrix S invertierst du (du erhälst [mm] S^{-1} [/mm] ) und multiplizierst sie mit der matrix A.
das ergebniss davon multiplizierst du mit der matrix S und du wirst eine überraschung erleben ^^
habe gerade festgestellt, dass der liebe paulus schneller als ich war :(
und besten dank an alle die mir geholfen haben und so viel geduld mit mir hatten :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Soll diese Schreibweise bedeuten: Zum Eigenwert $3$ gehört der [mm] Eigenvektor$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
