Eigenwerte unitärer Matizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 03.10.2004 | | Autor: | MAOAM |
Hallo Forum,
ich habe hier noch eine Frage bei der ich alleine nicht weiterweiss:
warum hat eine unitäre Matrix nur Eigenwerte $ = [mm] \pm [/mm] 1$ ?
eine mögliche Antwort ist dass diese alle auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene liegen....mit der ich aber nichts anzufangen weiss.
Schon mal vielen Dank, Sergej
und
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Maoam,
Wenn du weisst, dass unitäre Matrizen die Norm erhalten, d.h. ||Ax|| = ||x||, dann folgt daraus direkt, dass alle Eigenwerte von A den Betrag 1 haben müssen (setze für x einen Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ein und du erhältst [mm] |\lambda| [/mm] = 1 ist), also auf dem Einheitskreis liegen. Die einzigen reellen Zahlen auf dem Einheitskreis sind +1 und -1.
Eine unitäre Matrix ist für komplexe Koeffizienten definiert und zwar durch die Eigenschaft, [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \bar{A}^t$. [/mm] Hat die Matrix nur reelle Koeffizienten, dann heisst die entsprechende Eigenschaft [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] A^t$, [/mm] dass die Matrix orthogonal ist. Jede orthogonale Matrix (also mit reellen Koeffizienten) ist unitär und ihre reellen Eigenwerte sind nur +1 und -1.
Eine orthogonale Matrix kann aber auch komplexe Eigenwerte haben, die ungleich [mm] \pm [/mm] 1 sind, z.B.
[mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$
[/mm]
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 04.10.2004 | | Autor: | MAOAM |
danke für die Info, Irrlicht.
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