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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Sa 22.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Sei A eine nxn Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten. Zeige, dass A diagonalisierbar ist! |
| Aufgabe 2 | | Seien A und B quadratische Matrizen. Zeige, das AB und BA die selben Eigenwerte besitzen. (Verwende die Eigenschaft, dass das Produkt nichtsingulärer Matrizen nichtsingulär ist) |
Zu 1)
Ich habe in einem vorherigen Beispiel schon gezeigt, dass die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren linear unabhängig sind.
Hier habe ich n unterschiedliche Eigenwerte, also auch n Eigenvektoren, die linear unabhängig sind.
Sei [mm] \beta:= [/mm] die Menge dieser Eigenvektoren
Sei La(v) = A*v eine lin.Abbildung!
Diese Eigenvektoren bilden nun eine Basis von La, also ist La nach einem Satz aus der Vorlesung diagonalisierbar!
Da aber La diagonalisierbar ist, ist auch A diagonalisierbar!
Hier frage ich mich nur, woher ich genau weiß, dass [mm] \beta [/mm] eine Basisi bildet?
Das Kriterium, dass die Vektoren l.u. sein müssen, ist erfüllt.
Aber woher weiß ich, dass [mm] <\beta> [/mm] = La??
Zu Aufgabe 2)
Hier wollte ich erstmals um einen Ansatz fragen!
Gehe ich am besten mit dem charakteristischen Polynom vor?
Oder verknüpfe ich die beiden lin.Abbildungen La(v) = A*v und Lb(v) = B*v??
Danke im Vorraus!
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> Sei A eine nxn Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten.
> Zeige, dass A diagonalisierbar ist!
> Seien A und B quadratische Matrizen. Zeige, das AB und BA
> die selben Eigenwerte besitzen. (Verwende die Eigenschaft,
> dass das Produkt nichtsingulärer Matrizen nichtsingulär
> ist)
> Zu 1)
> Ich habe in einem vorherigen Beispiel schon gezeigt, dass
> die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehörenden
> Eigenvektoren linear unabhängig sind.
Hallo,
> Hier habe ich n unterschiedliche Eigenwerte, also auch n
> Eigenvektoren, die linear unabhängig sind.
Genau.
A ist ja eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix, beschreibt also einen Endomorphismus des [mm] K^n.
[/mm]
Der [mm] K^n [/mm] ist n-dimensional,
und wenn Du nun n linear unabhängige Vektoren dieses Raumes gefunden hast, kan es nicht anders sein, als daß sie eine Basis bilden.
Damit ist Deine unten gestellte Frage beantwortet.
> Sei [mm]\beta:=[/mm] die Menge dieser Eigenvektoren
> Sei La(v) = A*v eine lin.Abbildung!
> Diese Eigenvektoren bilden nun eine Basis von La,
Ganz sicher nicht! [mm] L_A [/mm] ist doch eine Abbildung. Abbildungen haben keine Basis.
Aber es ist [mm] L_A: K^n\to K^n, [/mm] und [mm] \beta [/mm] ist eine Basis des [mm] K^n [/mm] aus Eigenvektoren von [mm] L_A.
[/mm]
> also ist
> La nach einem Satz aus der Vorlesung diagonalisierbar!
> Da aber La diagonalisierbar ist, ist auch A
> diagonalisierbar!
Genau.
>
> Hier frage ich mich nur, woher ich genau weiß, dass [mm]\beta[/mm]
> eine Basisi bildet?
s.o.
> Das Kriterium, dass die Vektoren l.u. sein müssen, ist
> erfüllt.
> Aber woher weiß ich, dass [mm]<\beta>[/mm] = La??
s. o.
Deine Basis spannt nicht die Abbildung [mm] L_A [/mm] auf, sondern den VR [mm] K^n.
[/mm]
>
> Zu Aufgabe 2)
> Hier wollte ich erstmals um einen Ansatz fragen!
> Gehe ich am besten mit dem charakteristischen Polynom
> vor?
> Oder verknüpfe ich die beiden lin.Abbildungen La(v) = A*v
> und Lb(v) = B*v??
Die Frage nach einem "Ansatz" find' ich immer schwierig bis unverständlich.
Wir wollen ja keinen Sauerteig machen, sondern einen Beweis führen.
Da gibt's nicht immer ein Rezept...
Für den EW [mm] \lambda=0 [/mm] kannst Du Dir die Sache selbst überlegen.
Sei nun [mm] \lambda\not=0 [/mm] ein EW von AB.
Dann gibt es ein [mm] v\not=0 [/mm] mit [mm] ABv=\lambda [/mm] v.
Tip: betrachte mal v':=Bv und zeige, daß das ein EV von BA zum EW [mm] \lambda [/mm] ist.
LG Angela
>
> Danke im Vorraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 23.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Hallo!
Falls eine der beiden Matrizen den EW [mm] \lambda [/mm] = 0 hat, hat ja automatisch auch AB bzw BA den EW [mm] \labmda [/mm] = 0, dh. [mm] \exists \lambda [/mm] = 0 mit AB*v = [mm] \lambda [/mm] * v = BA * v = 0
Oder?
Nach deine Definition von v' komme ich auf folgende Umformung:
Sei AB * v = [mm] \lambda [/mm] * v
[mm] \lambda \not= [/mm] 0, v [mm] \not= [/mm] 0, lambda EW von AB
Sei nun w EV [mm] \not= [/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv
BA * w [mm] =\lambda [/mm] * w = [mm] \lambda [/mm] * B * v = [mm] \lambda [/mm] * (Bv) = [mm] \lambda [/mm] * w
Also ist [mm] \lambda [/mm] auch EW von BA
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 23.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Falls eine der beiden Matrizen den EW [mm]\lambda[/mm] = 0 hat, hat
> ja automatisch auch AB bzw BA den EW [mm]\labmda[/mm] = 0, dh.
> [mm]\exists \lambda[/mm] = 0 mit AB*v = [mm]\lambda[/mm] * v = BA * v = 0
Meiner Vorrednerin wird das vermutlich - abgesehen von dem [mm] $\exists \lambda [/mm] = 0$ - klar sein. Aber ist es auch Dir klar?
> Oder?
>
> Nach deine Definition von v' komme ich auf folgende
> Umformung:
> Sei AB * v = [mm]\lambda[/mm] * v
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0, v [mm]\not=[/mm] 0, lambda EW von AB
>
> Sei nun w EV [mm]\not=[/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv
> BA * w [mm]=\lambda[/mm] * w = [mm]\lambda[/mm] * B * v = [mm]\lambda[/mm] * (Bv) =
> [mm]\lambda[/mm] * w
> Also ist [mm]\lambda[/mm] auch EW von BA
> Richtig?
>
Ich verstehe komplett kein Wort:Du faengst mit $v'$ an, selbiges taucht aber nie mehr auf. Wo geht denn Dein Beweis los? Was soll denn
> Sei nun w EV [mm]\not=[/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv
bedeuten? Ist $w$ nun beliebiger EV oder definiert als $Bv$? Begruende bitte einmal die Gleichheitszeichen in
> BA * w [mm]=\lambda[/mm] * w
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 23.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Oh...sorry ^^
Hab leider wirklich etwas verwirrt geschrieben!
Hab irgendwie während ich geschrieben habe das v' mit w ausgetauscht!
Also es gilt: v' = w
w ist definiert als B*v, wobei v EV von AB und w EV von BA ist!
Also gilt:
AB * v = [mm] \lambda [/mm] * v
BA * w = BA*B*v = B *(AB) * v = B * [mm] \lambda [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * B*v = [mm] \lambda [/mm] * w
Also ist [mm] \lambda [/mm] EW von AB und von BA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 23.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Oh...sorry ^^
> Hab leider wirklich etwas verwirrt geschrieben!
> Hab irgendwie während ich geschrieben habe das v' mit w
> ausgetauscht!
> Also es gilt: v' = w
>
> w ist definiert als B*v, wobei v EV von AB und w EV von BA
> ist!
Das ist genau der Punkt: Entweder setzt Du $w$ als EV voraus: dann waere die Frage, weshalb $w= Bv$ gelten sollte; besonders, wenn $v$ schon ein bel. EV ist. Oder Du definierst $w$ als $Bv$, musst dann aber nachweisen, weshalb das EV von $BA$ ist.
>
> Also gilt:
> AB * v = [mm]\lambda[/mm] * v
> BA * w = BA*B*v = B *(AB) * v = B * [mm]\lambda[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm]
> * B*v = [mm]\lambda[/mm] * w
> Also ist [mm]\lambda[/mm] EW von AB und von BA
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 23.03.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Achso!
Das heißt, ich kann einfach nachweisen, wenn ich w als B*v definiere, dass w ein Eigenvektor von BA ist, weil ja BA*w =...= [mm] \lambda [/mm] * w gilt!
Also ist auch [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von BA!
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