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Eigenwerte von Zufallsmatrizen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte von Zufallsmatrizen: Eigenwertverteilung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:47 Mo 27.08.2018
Autor: euklidischerraum

Aufgabe
Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Größten und Kleinsten Eigenwerts einer  symetrischen positiven Matrix A [mm] \in \IR^{m \times m}. [/mm]
Die Einträge seien dabei unabhängige identsisch verteilte Zufallsvariablen.


Hallo Zusammen,

ich bin gerade auf ein kleines Problem gestoßen.
Ich möchte gerne für eine Zufallsmatrix die Dichtefunktion des größen und kleinsten Eigenwerts herleiten.

Die Einträge der Matrix besitzen die Dichtefunktion

[mm] f(a_{i,j})=\bruch{1}{\wurzel{2\pi }\sigma}e^{\bruch{(a_{i,j}-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}. [/mm]
Die Einträge sind dabei unabhängige indentisch normalverteilte Zufallsvariablen.

Meine Idee wäre es nun die Verbundswahrscheinlichkeitsdichte f(A) zu berechnen und dann eine Zerlegung der Matrix A= [mm] QDQ^{'}, [/mm] mit D als Diagonalmatrix und Q als Orthogonalmatrix durchzuführen.

1. Frage stimmt mein f(A)?

f(A) = [mm] \bruch{1}{(2 \pi)^{\bruch{m^{2}}{2}}|det\Sigma|^\bruch{m}{2}}e^{-\bruch{1}{2}spur((A-\mu_{A})^{'}\Sigma^{-1}(A-\mu_{A}))} [/mm]

2.Frage

Um die Vereinigungsdichte zu bekommen, muss ich doch
noch eine Transformation von (dA) ausführen.
dA = [mm] dQDQ^{'} [/mm] + [mm] QdDQ^{'} [/mm] + [mm] QDdQ^{'} [/mm]
Wenn man nun davon ausgeht, dass sich auf der Diagonale von D die Eigenwerte von A befindet folgt also:

dA= [mm] \produkt_{i \le j}^{m}(\lambda_{i}-\lambda_{j})d\lambda (Q^{#}dQ). [/mm]
Jetzt muss ich noch f(A) zu [mm] f(QDQ^{'}) [/mm] umschreiben und genau hier komme ich nicht weiter.

Viele Grüße
und Danke im Vorraus für eure Hilfe

        
Bezug
Eigenwerte von Zufallsmatrizen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 11.09.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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