Eigenwerte zu d/dx & d^2/dx^2 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V der Vektorraum über [mm] \IR [/mm] der beliebig oft diff.baren Funktionen von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR.
[/mm]
Sei D: V [mm] \rightarrow [/mm] V und D(f)= f'.
Was sind die Eigenwerte von D und [mm] D^{2} [/mm] |
Hallo,
bislang habe ich mich noch nie mit dieser abstrakten Form der Eigenwerte beschäftigt.
Die Eigenvektoren müssen ja nun Funktionen sein.
Und ich habe ja die Gleichung
f=cf' zu betrachten (f [mm] \in [/mm] V , c [mm] \in \IR)
[/mm]
so, nun kann ich ja schlecht ein charakterischtisches Polynom oder so aufstellen.
und wenn ich rate bekomme ich ja (wahrscheinlich) auch nicht alle heraus.
Wie kann ich da systematisch vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei V der Vektorraum über [mm]\IR[/mm] der beliebig oft diff.baren
> Funktionen von [mm]\IR[/mm] in [mm]\IR.[/mm]
> Sei D: V [mm]\rightarrow[/mm] V und D(f)= f'.
> Was sind die Eigenwerte von D und [mm]D^{2}[/mm]
> Hallo,
> bislang habe ich mich noch nie mit dieser abstrakten Form
> der Eigenwerte beschäftigt.
>
> Die Eigenvektoren müssen ja nun Funktionen sein.
>
> Und ich habe ja die Gleichung
> f=cf' zu betrachten (f [mm]\in[/mm] V , c [mm]\in \IR)[/mm]
>
> so, nun kann ich ja schlecht ein charakterischtisches
> Polynom oder so aufstellen.
Das gibt es auch gar nicht.
> und wenn ich rate bekomme ich ja (wahrscheinlich) auch
> nicht alle heraus.
Nun, du kannst du jeden Eigenwert eine Eigenfunktion (so nennt man die Eigenvektoren hier) hinschreiben.
Ueberleg mal genau. Kennst du eine Funktion, deren Ableitung gleich sich selber ist? Damit bekommst du den Eigenwert 1. Und kannst du sie so veraendern, dass du andere Eigenwerte bekommst? Es ist wirklich sehr einfach, vermutlich siehst du den Wald vor lauter Baeumen nicht :)
LG Felix
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ja klar...
also [mm] e^{x} [/mm] hatte ich na klar auch schon.
und mit [mm] e^{c*x} [/mm] bekomme ich für c [mm] \in \IR \backslash \{0 \} [/mm] ja alle E.W. :)
richtig?
wie schaut es aus mit [mm] D^{2}? [/mm]
Mit [mm] e^{c*x} [/mm] bekomme ich als E.W ja [mm] \IR^{+}
[/mm]
Aber hier finde ich z.b. mit cos(x) auch noch -1
Mal schauen ob ich noch mehr finde, aber soweit danke erst einmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mo 28.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also [mm]e^{x}[/mm] hatte ich na klar auch schon.
> und mit [mm]e^{c*x}[/mm] bekomme ich für c [mm]\in \IR \backslash \{0 \}[/mm]
> ja alle E.W. :)
> richtig?
Genau :)
> wie schaut es aus mit [mm]D^{2}?[/mm]
> Mit [mm]e^{c*x}[/mm] bekomme ich als E.W ja [mm]\IR^{+}[/mm]
Inklusive 0.
> Aber hier finde ich z.b. mit cos(x) auch noch -1
Und jetzt mach mit [mm] $\cos$ [/mm] genau das, was du mit [mm] $\exp(x)$ [/mm] gemacht hast, so dass du nicht nur den Eigenwert 1 bekommst.
LG Felix
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