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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 08.07.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & -3}
[/mm]
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und geben Sie eine Basis der Eigenräume an. |
Bei meiner Frage geht es um die Eigenwerte:
Normalerweise muss man das Charakteristische-Polinom aufstellen und durch die Determinante die Eigenwerte bestimmen.
Bei manchen 3x3 Matrizen kann das schon kompliziert werden.
Dann habe ich mir überlegt die Matrix erstmal auf Zeilenstufenform zu bringen. Dann stehen ja die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.
Das Problem ist jetzt, dass ich andere Eigenwerte rausbekomme, als in der Musterlösung.
Heißt es, dass durch die Umformung der Matrix sich die Eigenwerte ändern?
Die umgeformte Matrix lautet bei mir:
[mm] \pmat{ -2 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & -16 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Eigenwerte(umgeformte Matrix): [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0
[/mm]
In der Musterlösung kommen folgende Eigenwerte raus:
Eigenwerte(Musterlösung): [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=5
[/mm]
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Ja, die Eigenwerte einer Matrix ändern sich, wenn du sie vorher auf Zeilen/Stufenform bringst.
Also lieber klassisch die Eigenwerte berechnen, vielleicht hilft dir aber entwickeln nach einer Zeile bzw. Spalte dann weiter, dann muss man später das Polynom nicht mehr umständlich durch Nullstellensuche umformen!
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