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Hallo zusammen,
Da eine Frage, die ich nicht lösen konnte. Danke für alle Idee im Voraus.
Sei $ f : [mm] R^2 \to R^2 [/mm] $ eine lineare Abbildung mit reellen Eingenwerten $ [mm] \lambda_1,\lambda_2 \ge1$. [/mm] Nehme an, dass die zu f gehörige Matrix Diagonalform hat. Betrachte die Einheitsscheibe $ [mm] D:=\{(x,y) \in R^2; x^2+y^2\le1 \} [/mm] $. Zeige, dass [mm] $D\subset [/mm] f(D)$ !
Zeige dass f(D) eine Ellipse ist!
Herzlichen Dank im Voraus.
Sauerstoff
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Schreibe die Matrix diagonalisiert auf ( [mm] \lambda1,0;0, \lambda2), [/mm] multipliziere mit einem Vektor aus D, quadriere die Komponenten -was lässt sich sagen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:41 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Hallo KleinesBärchen
Ich habe schon so geschrieben
$ [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 } \vektor{x \\ y}= \vektor{\lambda_1 x \\ \lambda_2 y} [/mm] $
Dann $ [mm] (\lambda_1x)^2+(\lambda_2y)^2 \le1 [/mm] $ . Daraus folgt: ?? $ f(D) = [mm] \{ (\lambda_1x, \lambda_2y):(\lambda_1x)^2+(\lambda_2y)^2 \le1 \} [/mm] $
Stimmt das?
Sauerstoff
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Benutze, dass
[mm] \lambda1, \lambda2 \ge [/mm] 1 sind:
Das heisst doch, dass für dein f(D) gilt:
[mm] \lambda1^2x^2+\lambda2^2y^2 \le \lambda1^2\lambda2^2
[/mm]
Das kannst du nun zu einer allgemeinen Ellipsengleichung umformen.
Alles klar?
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hoi liebe KleinesBärchen
Danke schön. Meinst du so:
$ [mm] \lambda_1^2\cdot{}x^2 [/mm] + [mm] \lambda_2^2\cdot{}y^2 \le\lambda_1^2\cdot{}\lambda_2^2 [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \bruch{x^2}{\lambda_2^2} +\bruch {y^2}{\lambda_1^2} \le1 [/mm] $ (Ellipse)
Stimmt das?
Sauerstoff
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Genau das meinte ich 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 11.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
Liebe KleinesBärchen
Danke vielmals für all deine Hilfe und gute Zeit.
Sauerstoff
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