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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | Nadine87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörenden Eigenvektoren des verallgemeinerten Eigenwertproblems Ax=λBx mit B= 4 0
0 4 |
Hey ihr!
Ich bin echt ein bisschen überfordert mit der Aufgabe, da ich nicht weiß, wie ich die Eigenwerte berechne, wenn ich in der Gleichung 2 Matrizen stehen habe.
Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben oder einen Ansatz!
Wäre echt nett und danke schonmal für eure Hilfe!!!
Nadine
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörenden Eigenvektoren
> des verallgemeinerten Eigenwertproblems Ax=λBx mit B=
> 4 0
>
> 0 4
> Hey ihr!
> Ich bin echt ein bisschen überfordert mit der Aufgabe, da
> ich nicht weiß, wie ich die Eigenwerte berechne, wenn ich
> in der Gleichung 2 Matrizen stehen habe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du sollst also das Problem
[mm] Ax=\lambda \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }x=\lambda*4*Ex=4\lambda [/mm] x lösen.
Wenn Du nun [mm] 4\lambda=\lambda' [/mm] setzt, müßtest Du der Lösung nahe sein.
Hast Du für A konkret etwas gegeben? Informationen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 03.05.2007 | | Autor: | Nadine87 |
Für A habe ich gegeben:
2 -1
-1 2
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Aha.
Dann kannst Du ja die Eigenwerte von A berechnen.
Und mit
$ [mm] Ax=4\lambda [/mm] $ x
hast Du dann schnell die Lösungen der fraglichen Aufgabe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 03.05.2007 | | Autor: | Nadine87 |
Ich habe noch eine kurze Frage. Muss ich nur die Eigenwerte der Matrix A berechnen, weil das war schon Teilaufgabe a) und ja nicht so das Problem.
Muss ich bei dieser Teilaufgabe nicht in der Determinante anstatt nur [mm] \lambda 4\lambda [/mm] abziehen, d.h. meine Gleichung würde wie folgt aussehen:
[mm] 16\lambda² [/mm] - [mm] 16\lambda [/mm] + 3
Liebe Grüße,
Nadine
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> Muss ich bei dieser Teilaufgabe nicht in der Determinante
> anstatt nur [mm]\lambda 4\lambda[/mm] abziehen, d.h. meine Gleichung
> würde wie folgt aussehen:
>
> [mm]16\lambda²[/mm] - [mm]16\lambda[/mm] + 3
Ja, so geht's auch. Nun brauchst Du die Nullstellen, und dann hast Du die Lösung.
Mein Hinweis zielte hierauf:
$ [mm] Ax=\underbrace{4\lambda}_{=\lambda'} [/mm] $ x
Wenn man die Eigenwerte [mm] \lambda' [/mm] von A hat, ist man den gesuchten [mm] \lambda [/mm] auch sehr nahe, das ist noch etwas einfacher.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:39 Do 03.05.2007 | | Autor: | Nadine87 |
Okay, dann hab ich das richtig gemacht. Nur komm ich dann bei den Eigenvektoren nicht mehr weiter, weil, wenn ich die Matrix dann auf ZSF bringe, bekomme ich für x1 und x2 0 heraus und das kommt mir ein bisschen komisch vor....
Die letzte Teilaufgabe besteht dann darin, dass ich ein anderes B gegeben habe und dem Tipp, dass ich B durch C^transponiertC ersetzen soll, was mir auch angegeben ist. Das ist doch aber quasi das selbe Prinzip?!? Oder muss ich irgendwas noch beachten?
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> Okay, dann hab ich das richtig gemacht. Nur komm ich dann
> bei den Eigenvektoren nicht mehr weiter, weil, wenn ich die
> Matrix dann auf ZSF bringe, bekomme ich für x1 und x2 0
> heraus und das kommt mir ein bisschen komisch vor....
Zeig mal!
>
> Die letzte Teilaufgabe besteht dann darin, dass ich ein
> anderes B gegeben habe
welches?
Gruß v. Angela
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zu b:
Wenn ich die Eigenwerte dann berechne, erhalte ich 3/4 und 1/4. Mit diesen weitergerechnet für die Eigenvektoren bekomme ich für 3/4 in der ZSF heraus:
5/4 -1
0 -9/16
Daraus folgt, dass x2 Null sein muss und x1 logischerweise dann auch....
Wenn ich 1/4 als Eigenwert nehme, erhalte ich in der ZSF:
7/4 -1
0 3/4
Und daraus folgt, s. oben, x1 und x2 sind 0.
In Teilaufgabe c ändert sich dann mein B. Dieses Mal habe ich gegeben:
B= 1 1
1 2
mit B=C^transponiert C mit C= 1 0
1 1
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> zu b:
>
> Wenn ich die Eigenwerte dann berechne, erhalte ich 3/4 und
> 1/4.
Hallo,
ja, das ist richtig.
> Mit diesen weitergerechnet
Stop!
Vorm Weiterrechnen mach Dir klar, daß 3/4 und 1/4 nicht die Eigenwerte von A sind,
sondern die des allgemeineren Problems [mm] Ax=\lambda 4Ex=4\lambda [/mm] x.
Du suchst also Lösungen von [mm] (A-4\lambdaE)x=0.
[/mm]
Wenn Du das so machst, wird's klappen.
> für die Eigenvektoren
> bekomme ich für 3/4 in der ZSF heraus:
>
> 5/4 -1
> 0 -9/16
>
> Daraus folgt, dass x2 Null sein muss und x1 logischerweise
> dann auch....
Wenn es Dir passiert, daß Du ausrechnest, daß ein Eigenvektor =0 ist, solltest Du hellwach werden. Da ist dann etwas faul im Staate Dänemark.
Eigenvektoren sind definitionsgemäß [mm] \not= [/mm] 0. Außerdem gehört zu jedem Eigenwert ein Eigenraum, welcher mindestens die Dimension 1 hat. Die 0 kann Dir diesen Eigenraum nicht aufspannen.
Sprich: wenn Du herausbekommst, daß der Eigenvektor=0 ist, hast Du irgendetwas falsch gemacht.
Gruß v. Angela
>
> In Teilaufgabe c ändert sich dann mein B. Dieses Mal habe
> ich gegeben:
>
> B= 1 1
> 1 2
>
> mit B=C^transponiert C mit C= 1 0
> 1 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 09.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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