Ein paar Aufgaben korrigieren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 30.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{cos(2k-1)}{ln(10)^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{sin(k^{2}+1)}{k^{2}+3}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(2+(-1)^{k-1})}{k^{2}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(3+(-1)^{k})^{k}}
[/mm]
e) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}}
[/mm]
f) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{3k-1}
[/mm]
g) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}}
[/mm]
h) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!} [/mm] |
Hey
habe mal wieder ein paar Probleme mit den Reihen :/
Manche Aufgaben konnte ich lösen, andere wiederum nicht. Vor allem die [mm] (-1)^{k} [/mm] verwirrt mich, weil ich immer an eine alternierende Reihe denken muss...
Hoffe Ihr könnt mir wieder helfen.
Aufgaben a und b konnte ich mit dem Majorantenkriterium lösen. Der Zähler ist ja immer <= 1 und dann habe ich einfach eine Vergleichsreihe gesucht, die größer ist und konvergiert.
Als ich mir die restlichen Aufgaben zum ersten Mal angeschaut habe, dachte ich mir dass man sie nach ein paar Umformungen das Leibnizkriterium anwenden kann. Bei manchen Aufgben klappt es jedoch nicht und obwohl [mm] (-1)^{k} [/mm] in der Reihe vorkommt, ist dennoch nicht alternierend :/
c)
c) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(2+(-1)^{k-1})}{k^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{k^{2}} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{1}{-k^{2}}
[/mm]
Die erste Teilreihe ist konvergent.
Bei der zweiten Teilreihe habe ich das Leibnizkriterium verwendet.
Das Leibnizkriterium sieht allgemein so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} [/mm] * [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n} \ge [/mm] 0
[mm] a_{n} [/mm] ist in der Aufgabe negativ. Aber eigentlich ändert sich doch nichts.
[mm] \bruch{-1}{k^{2}} [/mm] konvergiert trotzdem. Es ändern sich ja nur die Vorzeichen. War mir nicht sicher, ob man dann trotzdem das Leibnizkriterium anwenden darf. Habe es einfach gemacht :D
1. Zeige, das [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{-1}{k^{2}} \to [/mm] 0
2. Zeige Monotonie
[mm] \bruch{-1}{k^{2}} \le \bruch{-1}{(k+1)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] \ [mm] \ge \bruch{1}{(k+1)^{2}}
[/mm]
[mm] k^{2} \le (k+1)^{2}
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] 2k+1
Die zweite Teilreihe konvergiert also auch.
Da beide Teilreihen konvergieren, konvergiert die ursprüngliche Reihe auch.
d)
d) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(3+(-1)^{k})^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{3+(-1)^{k}})^{k}
[/mm]
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel{(\bruch{1}{3+(-1)^{k}})^{k}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+(-1)^{k}}
[/mm]
k-gerade: --> [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
k-ungerade: --> [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Beides ist < 1 und somit ist die Reihe konvergent?
Hier bin ich mir nicht sicher. Wusste nicht, wie ich es hätte anders lösen können.
e)
Überhaupt keine Ansatz gefunden...
Würde jetzt einfach sagen, dass die Reihe alternierend ist, weil [mm] (-1)^{k+1} [/mm] vorkommt.
Kann man es vielleicht mit dem Majoranten/Minorantenkriteirum lösen?
Ein Hiweis wäre wirklich hilfreich.
f)
f) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{3k-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{1}{-3k+1}
[/mm]
Leibnizkriteirum:
1. Nullfolge:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{-3k+1} \to [/mm] 0
2. Monotonie zeigen:
[mm] \bruch{1}{-3k+1} \le \bruch{1}{-3k-2}
[/mm]
-3k+1 [mm] \ge [/mm] -3k-2
0 [mm] \ge [/mm] -3
g)
g) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{-k}{2k}
[/mm]
Hier habe ich es erst mit dem Leibnizkriterium versucht. Nullfolge konnte ich zeigen. Bei der Monotonie ging es einfach nicht auf.
Dann habe ich einfach das Quotientenkriterium genommen, weil ich nicht mehr weiterwusste.
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(-1)^{k+2}(k+1)}{2^{k+1}}}{\bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{k}(-1)^{2}(k+1)2^{k}}{2^{k}2(-1)^{k}(-1)k} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k+1}{-2k} \to \bruch{1}{-2}
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{-2}| [/mm] < 1 --> konvergent.
Kann man das so machen? Wenn ja, wieso klappt es denn mit dem Leibnizkriteirum nicht? Die Ausgangsform für das Leibnizkriteirum ist gegeben und es würde einfach gut aussehen, wenn es mit dem Leibnizkriterium aufgehen würde.
h)
h) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{k^{k}}{k!}
[/mm]
Auch hier hat es mit dem Leibnizkriterium nicht geklappt.
Habe es dann mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{k}(-1)(k+1)^{k}(k+1)k!}{(k+1)k!(-1)^{k}k^{k}} [/mm] =
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |- [mm] (\bruch{k+1}{k})^{k}| \to \infty
[/mm]
Die Reihe ist also divergent.
Bei diesen Aufgaben habe ich erhebliche Probleme, weil ich nie weiß, wann die Reihe alternierend ist und wann nicht, obwohl ein [mm] (-1)^{k} [/mm] in den Reihen vorkommt...
Gibt es da irgendwelche Tricks von denen ich noch nichts weiß?
Wäre für jede Hilfe dankbar :)
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Hallo JanineH,
bei derart vielen Aufgaben wäre es besser gewesen, du hättest die Frage auf mehrere threads aufgeteilt.
Das wird hier sicher sehr sehr unübersichtlich.
Zum anderen könnte man deine Frage schnell pauschal beantworten mit:
"Jede der Reihen konvergiert", denn es sind nur endliche Summen, wobei jeder Summand konstant ist, der Laufindex ist i, das taucht in den Summen gar nicht auf. Es wird n-mal ein konstanter Term summiert bei jeder der Aufgaben ...
Sorgfältiger Tippen!!
Ich fange mal an ...
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
>
> a) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{cos(2k-1)}{ln(10)^{k}}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{sin(k^{2}+1)}{k^{2}+3}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(2+(-1)^{k-1})}{k^{2}}[/mm]
> d)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(3+(-1)^{k})^{k}}[/mm]
> e)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}}[/mm]
> f)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{3k-1}[/mm]
> g)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}}[/mm]
> h)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}[/mm]
> Hey
> habe mal wieder ein paar Probleme mit den Reihen :/
> Manche Aufgaben konnte ich lösen, andere wiederum nicht.
> Vor allem die [mm](-1)^{k}[/mm] verwirrt mich, weil ich immer an
> eine alternierende Reihe denken muss...
> Hoffe Ihr könnt mir wieder helfen.
>
> Aufgaben a und b konnte ich mit dem Majorantenkriterium
> lösen. Der Zähler ist ja immer <= 1 und dann habe ich
> einfach eine Vergleichsreihe gesucht, die größer ist und
> konvergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Als ich mir die restlichen Aufgaben zum ersten Mal
> angeschaut habe, dachte ich mir dass man sie nach ein paar
> Umformungen das Leibnizkriterium anwenden kann. Bei manchen
> Aufgben klappt es jedoch nicht und obwohl [mm](-1)^{k}[/mm] in der
> Reihe vorkommt, ist dennoch nicht alternierend :/
>
> c)
> c) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(2+(-1)^{k-1})}{k^{2}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{k^{2}}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{1}{-k^{2}}[/mm]
>
> Die erste Teilreihe ist konvergent.
> Bei der zweiten Teilreihe habe ich das Leibnizkriterium
> verwendet.
> Das Leibnizkriterium sieht allgemein so aus:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{k}[/mm] * [mm]a_{n}[/mm] mit [mm]a_{n} \ge[/mm] 0
> [mm]a_{n}[/mm] ist in der Aufgabe negativ. Aber eigentlich ändert
> sich doch nichts.
> [mm]\bruch{-1}{k^{2}}[/mm] konvergiert trotzdem. Es ändern sich ja
> nur die Vorzeichen. War mir nicht sicher, ob man dann
> trotzdem das Leibnizkriterium anwenden darf. Habe es
> einfach gemacht :D
Du kannst doch schreiben:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k^2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{-k^2} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k^2}\red{-}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^2}$, [/mm] also in der hinteren Reihe den Faktor $-1$ rausziehen ...
Beide Reihen konvergieren, also auch ihre Summe, dh. die Ausgangsreihe
Alternativ kannst du den Zähler nach oben gegen 3 abschätzen, also Ausgangsreihe [mm] $\le\sum\frac{3}{k^2}$ [/mm] --> Konvergenz
>
> 1. Zeige, das [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge ist:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{-1}{k^{2}} \to[/mm] 0
> 2. Zeige Monotonie
> [mm]\bruch{-1}{k^{2}} \le \bruch{-1}{(k+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] \ [mm]\ge \bruch{1}{(k+1)^{2}}[/mm]
> [mm]k^{2} \le (k+1)^{2}[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] 2k+1
>
> Die zweite Teilreihe konvergiert also auch.
> Da beide Teilreihen konvergieren, konvergiert die
> ursprüngliche Reihe auch.
>
> d)
> d) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(3+(-1)^{k})^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{3+(-1)^{k}})^{k}[/mm]
>
> Wurzelkriterium:
> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{3+(-1)^{k}})^{k}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+(-1)^{k}}[/mm]
>
> k-gerade: --> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> k-ungerade: --> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Beides ist < 1 und somit ist die Reihe konvergent?
> Hier bin ich mir nicht sicher. Wusste nicht, wie ich es
> hätte anders lösen können.
Gut so, der [mm] $\limsup$, [/mm] den du gem. WK berechnen musst, ist [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] und das ist $<1$, also hast du (absolute) Konvergenz
>
> e)
> Überhaupt keine Ansatz gefunden...
> Würde jetzt einfach sagen, dass die Reihe alternierend
> ist, weil [mm](-1)^{k+1}[/mm] vorkommt.
> Kann man es vielleicht mit dem
> Majoranten/Minorantenkriteirum lösen?
> Ein Hiweis wäre wirklich hilfreich.
Schaue mal, ob das Trivialkriterium erfüllt ist ...
>
> f)
> f) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{3k-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{1}{-3k+1}[/mm]
Hm, besser [mm] $=-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{3k-1}$
[/mm]
Und dann Leibniz!
>
> Leibnizkriteirum:
>
> 1. Nullfolge:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{-3k+1} \to[/mm] 0
>
> 2. Monotonie zeigen:
> [mm]\bruch{1}{-3k+1} \le \bruch{1}{-3k-2}[/mm]
Es muss doch eine monoton fallende Nullfolge sein!
Besser die -1 vorziehen, dann hast du lauter positive Summanden und kannst schnell zeigen, dass [mm] $\left(\frac{1}{3k-1}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] mon. fallend ist ...
> -3k+1 [mm]\ge[/mm] -3k-2
> 0 [mm]\ge[/mm] -3
>
> g)
> g) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{-k}{2k}[/mm]
>
> Hier habe ich es erst mit dem Leibnizkriterium versucht.
> Nullfolge konnte ich zeigen. Bei der Monotonie ging es
> einfach nicht auf.
> Dann habe ich einfach das Quotientenkriterium genommen,
> weil ich nicht mehr weiterwusste.
>
> Quotientenkriterium:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(-1)^{k+2}(k+1)}{2^{k+1}}}{\bruch{(-1)^{k+1}k}{2^{k}}}[/mm]
Betragstriche!!
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{k}(-1)^{2}(k+1)2^{k}}{2^{k}2(-1)^{k}(-1)k}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k+1}{-2k} \to \bruch{1}{-2}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{-2}|[/mm] < 1 --> konvergent. ()
Das musst du noch besser aufschreiben. Zu berechnen ist: [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$
[/mm]
Alternativ und schnell geht hier auch das WK!
Mit absoluter Kgz. folgt auch "gewöhnlcihe" Konv.
>
> Kann man das so machen? Wenn ja, wieso klappt es denn mit
> dem Leibnizkriteirum nicht? Die Ausgangsform für das
> Leibnizkriteirum ist gegeben und es würde einfach gut
> aussehen, wenn es mit dem Leibnizkriterium aufgehen
> würde.
>
>
> h)
> h) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{k} \bruch{k^{k}}{k!}[/mm]
>
> Auch hier hat es mit dem Leibnizkriterium nicht geklappt.
> Habe es dann mit dem Quotientenkriterium versucht:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{k}(-1)(k+1)^{k}(k+1)k!}{(k+1)k!(-1)^{k}k^{k}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] |- [mm](\bruch{k+1}{k})^{k}| \to \infty[/mm]
Wieder Beträge vergessen.
Und [mm] $\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] nicht gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Das ist ein weltbekannter Grenzwert, der bekannteste überhaupt ...
>
> Die Reihe ist also divergent.
Naja, zumindest ist sie nicht absolut konvergent.
Aber sie ist ja alternierend und könnte konvergent sein, das bleibt zu untersuchen!
> Bei diesen Aufgaben habe ich erhebliche Probleme, weil ich
> nie weiß, wann die Reihe alternierend ist und wann nicht,
> obwohl ein [mm](-1)^{k}[/mm] in den Reihen vorkommt...
Dann sind sie alternierend.
Manchmal kannst du zeigen, dass eine solche Reihe absolut konvergent ist, dass also die Reihe der Beträge könvergiert.
Das impliziert dann auch "normale" Konvergenz (siehe bei g)). Andersherum gilt das nicht. Siehe bei der letzten Aufgabe (da bleibt noch Konvergenz zu untersuchen) ..
> Gibt es da irgendwelche Tricks von denen ich noch nichts
> weiß?
Keine Ahnung, ich kenne dein Trickrepertoire ja nicht 
> Wäre für jede Hilfe dankbar :)
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 01.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
hey schachuzipus
Danke für Deine Antwort...mal wieder :D
habe nochmal versucht die Aufgaben mit deinen Tipps zu lösen.
e)
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}}
[/mm]
Notwendiges Kriterium:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3-(-1)^{k}}
[/mm]
k-gerade --> [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
k-ungerade --> [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Muss man jetzt hier limes sup oder limes inf betrachten?
Kannste mir vielleicht auch sagen, wann ich eigentlich inf und wann sup betrachten muss?
Nehmen wir mal an, dass für k-ungerade die Folge nicht gegen [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] sondern gegen [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] läuft.
Die Folge würde über der x-Achse gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergieren und unter der x-Achse gegen [mm] -\bruch{1}{4}.
[/mm]
Hmm jetzt kommt mir ein Gedanke :D
Man betrachtet ja immer den Betrag! Also immer positive Werte. Man nimmt dann einfach den höchsten Grenzwert, weil dieser den kleineren beinhaltet?
h)
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}} [/mm] | = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{k}(-1)(k+1)^{k}(k+1)k!}{(k+1)k!(-1)^{k}k^{k}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |-(\bruch{(k+1)}{k})^{k}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |-(1+\bruch{1}{k})^{k}| \to [/mm] |-e| < 1 --> konvergent
Oh Mann. Das hätte ich normalerweise sehen müssen :/
Nochmal danke für Deine Mühe!
Warst der Einzige, der sich meinen Beitrag durchgelesen und geantwortet hat =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 01.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hey schachuzipus
> Danke für Deine Antwort...mal wieder :D
> habe nochmal versucht die Aufgaben mit deinen Tipps zu
> lösen.
>
> e)
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}}[/mm]
>
> Notwendiges Kriterium:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3+(-1)^{k+1}}[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{3-(-1)^{k}}[/mm]
>
> k-gerade --> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> k-ungerade --> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Muss man jetzt hier limes sup oder limes inf betrachten?
Brauchst du hier gar nicht: alle Summanden sind doch [mm] $\ge \bruch{1}{4}$, [/mm] also bilden sie keine Nullfolge und die Reihe divergiert.
Anders ausgedrückt: die Reihe hat die Form
[mm] \bruch{1}{4} + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{4} + \bruch{1}{2}+\bruch{1}{4} + \bruch{1}{2} + \dots[/mm] ,
und das divergiert.
> Kannste mir vielleicht auch sagen, wann ich eigentlich inf
> und wann sup betrachten muss?
Für die Konvergenz musst du immer [mm] $\limsup$ [/mm] anschauen: die Reihe [mm] $\summe_k a_k$ [/mm] ist konvergent, wenn
[mm] \limsup_k \wurzel[k]{|a_k|} < 1 [/mm] (Wurzelkriterium)
oder
[mm]\limsup_k \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| <1[/mm] (Quotientenkriterium)
ist.
Für die Divergenz nimmst du den [mm] $\liminf$ [/mm] im Quotientenkriterium, d.h. die die Reihe [mm] $\summe_k a_k$ [/mm] ist divergent, wenn
[mm] \limsup_k \wurzel[k]{|a_k|} >1 [/mm] (Wurzelkriterium)
oder
[mm]\liminf_k \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| >1[/mm] (Quotientenkriterium)
ist.
> h)
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^{k}k^{k}}{k!}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{k}(-1)(k+1)^{k}(k+1)k!}{(k+1)k!(-1)^{k}k^{k}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |-(\bruch{(k+1)}{k})^{k}|[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |-(1+\bruch{1}{k})^{k}| \to[/mm]
Bis hierher ist es ok.
> |-e| < 1 --> konvergent
Nein, denn $|-e| = e > 1$ !
Das siehst du auch daran, dass
[mm]\left(1+\bruch{1}{k}\right) > 1 [/mm]
und daher auch
[mm] \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k > 1 [/mm]
ist, und damit kann der Grenzwert für [mm] $k\to\infty$ [/mm] nicht $<1$ sein!
> Oh Mann. Das hätte ich normalerweise sehen müssen :/
> Nochmal danke für Deine Mühe!
> Warst der Einzige, der sich meinen Beitrag durchgelesen
> und geantwortet hat =)
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Sa 02.07.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey rainerS
danke für Deine Antwort!
Das mit limes inf und limes sup habe ich jetzt verstanden :D
zu Aufgabe h)
oh nein!
Natürlich ist 2.71.... größer als 1
Was ist denn nur heute mit mir los?! Das ist bei mir immer so.
Immer wenn ich lange Mathe lerne, werde ich irgendwann müde und mache dumme Fehler. Am nächsten Tag frage ich mich dann wie mir solche dummen Fehler passieren konnten :/
Gute Nacht! und danke nochmal!
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