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Einbettung elliptischer Kurven: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:29 Di 07.11.2017
Autor: mathstu

Aufgabe
Zu einem Gitter [mm] \Omega [/mm] betrachten wir die Einbettung der elliptischen Kurve [mm] \IC/\Omega [/mm]
[mm] \phi: (\IC/\Omega)\setminus{\{0\}} \to \IC^2 [/mm] mit [mm] \phi(z+\Omega)=(p(z),p'(z))[/mm], wobei [mm]p[/mm] die Weierstraßsche p-Funktion ist. Das Bild [mm]im(\phi)[/mm] ist die affine Kurve [mm]C_\Omega = \{y^2=4x^3-g_2x-g_3\}[/mm].
Zeige, dass für äquivalente Gitter [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] eine invertierbare lineare Abbildung [mm]f:\IC^2 \to \IC^2[/mm] existiert, so dass [mm]f(C_\Omega)=C_{\Omega'}[/mm].

Guten Morgen,

ich soll folgende Aufgabe lösen und komme dabei nicht so richtig weiter und könnte etwas Hilfe gebrauchen.

Also ich weiß dass zwei Gitter [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] äquivalent sind, falls es ein [mm]\mu\in\IC\setminus{\{0\}}[/mm] gibt, mit [mm]\Omega'=\tau\Omega[/mm]. Außerdem ist jedes Gitter [mm] \Omega [/mm] äquivalent zu einem Gitter der Form [mm]\Omega_\tau=\IZ\tau+\IZ[/mm]. Und zwei Gitter [mm] \Omega_\tau [/mm] und [mm] \Omega_{\tau'} [/mm] sind äquivalent, falls es eine Matrix [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\in SL_2(\IZ)[/mm] gibt mit [mm]\tau=\bruch{a\tau'+c}{c\tau'+d}[/mm].
So, das war das was wir bisher zu äquivalenten Gittern gemacht haben. Nun zu meinen Problemen beim Lösen der Aufgabe. Wir sollen ja zeigen dass es eine lineare invertierbare Abbildung gibt, die die obige Bedingung erfüllt. Das ist ja äquivalent dazu zu zeigen, dass es eine invertierbare Matrix mit Koeffizienten in [mm] \IC [/mm] gibt, die Elemente von [mm]C_\Omega[/mm] in Elemente von [mm]C_{\Omega'}[/mm] umwandelt. Oder nicht?
Und wie gehe ich dabei vor? Ich vermute mal, dass ich dafür die obige Matrix aus der Definition der Äquivalenz von Gittern irgendwie verwenden sollte. Allerdings sind mir die Zusammenhänge noch nicht alle ganz klar. Der Unterschied zwischen [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] in [mm] \phi [/mm] ist ja, dass wir verschiedene Kongruenzklassen für unsere [mm]z\in\IC \setminus{\{0\}}[/mm] haben. Aber wie wirken sich diese Kongruenzklassen auf [mm]im(\phi)[/mm] und [mm]im(\phi')[/mm] aus? Hat die Weierstraßsche p-Funktion dann einfach andere Perioden oder wie hängt das zusammen?

Ich hoffe meine Fragen und Schwierigkeiten sind einigermaßen verständlich ausgedrückt und jemand kann mir bei diesem Thema etwas helfen.

Viele Grüße, mathstu

        
Bezug
Einbettung elliptischer Kurven: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 11.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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