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Eind. + Ex. schwacher Lsg: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 So 28.10.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Sei [mm] \Omega \subset \IR^n [/mm] ein beschränktes Gebiet. Außerdem seien [mm] \omega \subset \Omega [/mm] offen sowie [mm] \Gamma_0 \subset \partial\Omega [/mm] mit [mm] |\omega| \not= [/mm] 0 und [mm] |\Gamma_0| \not= [/mm] 0. Beweise Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zu den folgenden PDEs
a)
[mm] \begin{cases} -\Delta y+ \chi_{\omega}y=u \mbox{ in} \Omega \\ \partial_{\nu}y=0 \mbox{ auf} \partial \Omega \end{cases} [/mm]

b)
[mm] \begin{cases} -\Delta y=u \mbox{ in} \Omega \\ \partial_{\nu}y=0 \mbox{ auf} \Gamma_1 \\ y=0 \mbox{ auf} \Gamma_0:=\partial\Omega\backslash \Gamma_1 \end{cases} [/mm]

Hier bezeichnet [mm] \chi_\omega [/mm] : [mm] \Omega \to \IR [/mm] die charakteristische Funktion von [mm] \omega. [/mm]

Hallo ihr Lieben,

zuerst einmal die Aussagen aus unserer Mitschrift:

Definition:
Eine Funktion [mm] y\in H^1_0(\Omega) [/mm] heißt schwache Lösung zu
[mm] (\*)\begin{cases} -\Delta y=u \mbox{ in} \Omega \\ y=0 \mbox{ auf} \partial \Omega \end{cases} [/mm]
falls y die schwache Formulierung von [mm] (\*) [/mm]
[mm] \int_{\Omega} \nabla [/mm] y [mm] \nabla [/mm] v dx = [mm] \int_{\Omega} [/mm] uv dx [mm] \forall [/mm] v [mm] \in H^1_0(\Omega) [/mm] löst.


Satz:
Es sei [mm] \Omega \in \IR^n [/mm] offen und beschränkt. Dann existiert zu jedem u [mm] \in L^2(\Omega) [/mm] genau eine schwache Lösung y [mm] \in H^1_0(\Omega) [/mm] zu
[mm] \begin{cases} -\Delta y=u \mbox{ in} \Omega \\ y=0 \mbox{ auf} \partial \Omega \end{cases}. [/mm]

Zudem existiert eine von y und u unabhängige Konstante [mm] \lambda [/mm] >0, s.d gilt
[mm] ||y||_{H^1(\Omega)} \le \bruch{1}{\lambda}||y||_{L^2(\Omega)} [/mm]


Um die schwache Formulierung von a) zu erhalten, multiplizieren wir a) mit einer geeigneten testfunktion v [mm] \in C^{\infty}_0(\Omega) [/mm] und integrieren die resultierende Gleichung über [mm] \Omega [/mm] :

[mm] \int_{\Omega} (-\Delta [/mm] y+  [mm] \chi_\omega [/mm] y )v dx= [mm] \int_{\Omega} [/mm] uv dx

und partielle Integration liefert dann die schwache Formulierung. Hier weiß ich nicht genau wie es weitergeht, da ich Probleme mit der Indikatorfunktion habe. Ist mit [mm] \chi_\omega [/mm] y = [mm] \chi_\omega [/mm] (y) gemeint, also

[mm] \chi_\omega(y) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } y \in \omega \\ 0, & \mbox{für } y \notin \omega \end{cases} [/mm]

(PI : [mm] \int [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g' = f [mm] \cdot [/mm] g - [mm] \int [/mm] f' [mm] \cdot [/mm] g)

bei
[mm] (\*)\begin{cases} -\Delta y=u \mbox{ in} \Omega \\ y=0 \mbox{ auf} \partial \Omega \end{cases} [/mm]
ist mir klar wie es läuft und dort ist ja quasi ( f= [mm] \Delta [/mm] y und g'=v und [mm] v\in C^{\infty}_0 [/mm] und verschweindet auf dem Rand, s.d. hier gilt [mm] \int [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g' =- [mm] \int [/mm] f' [mm] \cdot [/mm] g woraus dann die schwache Formulierung [mm] \int_{\Omega} \nabla [/mm] y [mm] \nabla [/mm] v dx = [mm] \int_{\Omega} [/mm] uv dx [mm] \forall [/mm] v [mm] \in H^1_0(\Omega) [/mm] folgt)

in a) wäre ja f= v und g'=  [mm] -\Delta [/mm] y+ [mm] \chi_{\omega}y [/mm]  
nur wie bilde ich g (insb im Hinblick auf [mm] \chi_{\omega}y [/mm] )

ich möchte gerne die schwache Formulierung finden und das y finden, dass die schwache formulierung löst und somit schwache Lösung von a) ist (nach Def). Und nach dem Satz weiß ich doch dann, dass die eindeutig ist oder muss ich das dann auch noch zeigen?

Oder bin ich gerade total auf dem Holzweg?


Vielen Dank ihr Lieben,

grüße Noya


        
Bezug
Eind. + Ex. schwacher Lsg: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Di 30.10.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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