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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem der Form
[mm] a_{1,1}x+a_{1,2}y [/mm] = b1
[mm] a_{2,1}x+a_{2,2}y [/mm] = b2
genau dann eindeutig lösbar ist (d.h. genau eine Lösung in x, y besitzt), wenn [mm] a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1} \not= [/mm] 0 gilt. |
Hallo,
die genannte Aufgabe war erstmal kein Problem. Hab den Gauß-Algorithmus angewandt und am Ende kam raus:
[mm] (a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1}) [/mm] y = [mm] a_{1,1}b_{2} [/mm] - [mm] a_{2,1}b_{1}
[/mm]
Wenn ich nach y umstellen will, darf der entsprechende Term natürlich nicht 0 sein, wie in der Aufgabenstellung gefordert. Soweit so gut, ich dachte, damit wäre das fertig.
Doch dann wollte ich noch ein Ergebnis für x bekommen, also y in die erste Gleichung eingesetzt, absoluten Teil rübergezogen und nun müsste ich noch durch den Faktor von x, also [mm] a_{1,1} [/mm] teilen? Das wäre ja dann aber eine zweite Bedingung dafür, dass das LGS eindeutig lösbar ist oder? Denn wenn [mm] a_{1,1}=0 [/mm] wäre das LGS doch wieder nicht eindeutig lösbar? Oder kann ich diesen Teil dann getrost übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] a_{11}=0 [/mm] ist ist doch die erste Gl. [mm] a_{12}*y=b1 [/mm] wie willst du da x ausrechnen.
also in die 2 te einsetzen, wenn [mm] a_{21} [/mm] auch =0 dann ist auch dein ursprunglicher Ausdruck 9 und du kannst die Gl. nicht eindeutig lösen!
dein Argument, du kannst y nicht ausrechnen ist nur halb richtig, wenn da stünde 0*y=0
erfüllt jedes y die Gl.
also entweder steht da [mm] 0*y=A\ne0 [/mm] dann gibt es keine Lösung für y oder A=0 dann unendlich viele.
Gruss leduart
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Sorry, ich steh ein wenig auf dem Schlauch. Ich kann zumindest deiner Antwort noch nicht so viel entnehmen.
Reicht es jetzt, den Punkt zu betrachten, dass der gesuchte Ausdruck nicht 0 sein darf, weil man mit ihm teilt oder muss ich jetzt noch mehr beachten? Den Fall, dass 0*y = 0 entsteht, kann ich doch echt weglassen, da ich ja genau eine eindeutige Lösung rausbekommen soll und nicht ein beliebiges y.
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Hallo,
> Sorry, ich steh ein wenig auf dem Schlauch. Ich kann
> zumindest deiner Antwort noch nicht so viel entnehmen.
>
> Reicht es jetzt, den Punkt zu betrachten, dass der gesuchte
> Ausdruck nicht 0 sein darf, weil man mit ihm teilt oder
> muss ich jetzt noch mehr beachten?
Das kommt immer auf die Fragestellung an. Hier geht es um eine eindeutige Lösung, also muss hier nicht mehr beachtet werden.
> Den Fall, dass 0*y = 0
> entsteht, kann ich doch echt weglassen, da ich ja genau
> eine eindeutige Lösung rausbekommen soll und nicht ein
> beliebiges y.
Wenn dich die Struktur der Lösungsmenge allgemein interessiert, dann musst du hier die beiden Fälle
0*y=0
und
0*y=c , [mm] c\ne [/mm] 0
unterscheiden. Denn im ersten Fall hättest du unendlich viele Lösungen, im zweiten Fall keine.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 31.10.2013 | | Autor: | klingelton |
Ok, das war Klartext, vielen dank! :)
Auch nochmal danke an leduart. In diesem Forum kriegt man echt immer zeitnah eine sehr gute Antwort!
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