matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenEindeutigkeit
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Eindeutigkeit
Eindeutigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eindeutigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Mi 22.04.2020
Autor: James90

Hallo!

Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen.

Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP zweiter Ordnung definieren als

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$
[mm] y(t_0)=x_0 [/mm]
[mm] y'(t_0)=y_0 [/mm]

mit [mm] $f:\IR\times\IR^n\times \IR^n$, t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n. [/mm]

Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus, dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in erste Ordnung bringen?

Viele Grüße!

        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Mi 22.04.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> Eindeutigkeit der Lösungen.
>  
> Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> zweiter Ordnung definieren als
>  
> [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  
> mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> erste Ordnung bringen?

Ja, so ist es:

das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung transformieren:

[mm] y_1'(t)=y_2(t) [/mm]
[mm] y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t)) [/mm]

mit der Anfangsbedingung [mm] (y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0). [/mm]


Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses System erster Ordnung anwenden.

>  
> Viele Grüße!


Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mi 22.04.2020
Autor: James90


> > Hallo!
>  >  
> > Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> > Eindeutigkeit der Lösungen.
>  >  
> > Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> > zweiter Ordnung definieren als
>  >  
> > [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  >  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  >  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  >  
> > mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> >  

> > Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> > dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> > Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> > erste Ordnung bringen?
>  
> Ja, so ist es:
>  
> das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein
> System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
> transformieren:
>  
> [mm]y_1'(t)=y_2(t)[/mm]
>  [mm]y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t))[/mm]
>  
> mit der Anfangsbedingung [mm](y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0).[/mm]
>  
>
> Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses
> System erster Ordnung anwenden.
>  >  
> > Viele Grüße!
>  

Hallo fre97!

Super, das hatte ich bereits so auf meinem Blatt stehen :-)

Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich annehmen darf. Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen kann, dass f linear ist. Kann ich denn annehmen, dass f stetig und insbesondere lipschitz stetig ist? Dann sind wir ja schon fertig, denn für Systeme 1. Ordnung stehen die Aussagen bereits in der VL.

Danke Dir und noch einen schönen Abend!

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Do 23.04.2020
Autor: fred97


> > > Hallo!
>  >  >  
> > > Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> > > Eindeutigkeit der Lösungen.
>  >  >  
> > > Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> > > zweiter Ordnung definieren als
>  >  >  
> > > [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  >  >  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  >  >  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  >  >  
> > > mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> > > dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> > > Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> > > erste Ordnung bringen?
>  >  
> > Ja, so ist es:
>  >  
> > das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein
> > System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
> > transformieren:
>  >  
> > [mm]y_1'(t)=y_2(t)[/mm]
>  >  [mm]y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t))[/mm]
>  >  
> > mit der Anfangsbedingung [mm](y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0).[/mm]
>  >  
> >
> > Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses
> > System erster Ordnung anwenden.
>  >  >  
> > > Viele Grüße!
> >  

> Hallo fre97!
>  
> Super, das hatte ich bereits so auf meinem Blatt stehen
> :-)
>  
> Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich
> annehmen darf.

Steht das nicht in Deinen Unterlagen ?

> Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen
> kann, dass f linear ist.



> Kann ich denn annehmen, dass f
> stetig und insbesondere lipschitz stetig ist?

Für Picard-Lindelöf und /oder Peano solltest Du das.


> Dann sind wir
> ja schon fertig, denn für Systeme 1. Ordnung stehen die
> Aussagen bereits in der VL.
>  
> Danke Dir und noch einen schönen Abend!


Bezug
                                
Bezug
Eindeutigkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:42 Sa 25.04.2020
Autor: James90

Hallo fred97!

> > Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich
> > annehmen darf.
>
> Steht das nicht in Deinen Unterlagen ?

Nein, leider nicht.

> > Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen
> > kann, dass f linear ist.
>  
>
>
> > Kann ich denn annehmen, dass f
> > stetig und insbesondere lipschitz stetig ist?
>
> Für Picard-Lindelöf und /oder Peano solltest Du das.

Ich probiere nochmal mein Glück:

1. Formuliere AWP zweiter Ordnung:

$ y''(t)=f(t,y(t),y'(t)) $
$ [mm] y(t_0)=x_0 [/mm] $
$ [mm] y'(t_0)=y_0 [/mm] $

mit $ [mm] f:\IR\times\IR^n\times \IR^n [/mm] $, $ [mm] t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n. [/mm] $

Sei außerdem f stetig und f(t,x) lokal lipschitz in x. (*)
Ferner sei [mm] (t_0,u)\in\IR^{n+1} [/mm]

2. Transformiere das AWP in ein AWP erster Ordnung:

$ [mm] y_1'(t)=y_2(t) [/mm] $
$ [mm] y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t)) [/mm] $

mit der Anfangsbedingung $ [mm] (y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0). [/mm] $

Aufgrund der Voraussetzung (*) hat y (nach Picard-Lindelöf) eine eindeutige Lösung [mm] y(t,t_0,u), [/mm] die in [mm] (t_{-},t_{+}) [/mm] existiert.

War's das wirklich schon?

Viele Grüße!

Bezug
                                        
Bezug
Eindeutigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 28.04.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]