Eindeutigkeit der QR-Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 20.05.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | [mm] A\in \IR^{m \times n},~m\geq [/mm] n,~Rang A=n.
z.z.:A=QR ist eindeutig (Q [mm] \in \IR^{m\times m} ,~QQ^T=I,~R [/mm] obere [mm] \Delta-Matrix,~r_{i i } [/mm] >0) |
Hi,
ich weiß nicht, wie ich an diesen Beweis rangehen soll.
Hat jemand einen Ansatz?
Danke,
Ole
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 22.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Ole,
meistens macht man Eindeutigkeitsbeweise so: man nehme an, es gebe zwei verschiedene Elemente, die die geforderten Eigenschaften erfüllen, und folgert dann daraus durch geschicktes Umformen, dass sie doch gleich sein müssen.
In deinem Fall wäre die Annahme: Es exisiteren [mm] Q_1\ne Q_2, R_1\ne R_2, [/mm] so dass: [mm] A=Q_1*R_1=Q_2*R_2, [/mm] und die [mm] Q_i, R_i [/mm] erfüllen die an Q und R gestellten Bedingungen.
Daraus musst du jetzt nur noch folgern, dass [mm] Q_1=Q_2 [/mm] und [mm] R_1=R_2 [/mm] (Benutze dabei immer schön die Gruppeneigenschaften von orthogonalen Matrizen und oberen [mm] \Delta [/mm] -Matrizen).
Soweit ich weiß, gilt bei der QR-Zerlegung aber nur Eindeutigkeit in dem Sinne, dass [mm] Q_2=Q_1*D, R_2=D*R_1, [/mm] wobei D Diagonalmatrix mit Einträgen [mm] \pm1 [/mm] ist.
Ist die Aufgabenstellung also wirklich vollständig gewesen?
Gruß,
Vreni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 28.05.2008 | | Autor: | nikito |
Doch die Aufgabenstellung ist vollständig. Die Eindeutigkeit folgt aus der Forderung [mm] r_i_i [/mm] > 0.
Lg Nikito
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=122328&v=t
FRED
|
|
|
|
