Eindeutigkeit implizite Fk. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Seien [mm] U\subset \mathbb{R}^k,V\subset \mathbb{R}^m [/mm] offen und [mm] F:U\times V\rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] stetig diffbar und für [mm] (x,y)\in U\times [/mm] V gilt:
F(a,b)=0 und [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(a,b) [/mm] ist invertierbar.
Warum müssen U,V eigentlich offen sein? Warum reicht es o.B.d.A. die Existenz und Eindeutigkeit einer impliziten Funktion g für den Fall (a,b)=(0,0) zu beweisen? |
Hallo,
hier mal eine Verständnisfrage zum Beweis. Wir haben den Beweis mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes geführt.
Meine Fragen dazu habe ich schon formuliert.
Zu (a,b)=(0,0) einmal:
vielleicht schreibt man besser: [mm] (a,b)=(a_1,...,a_k,b_1,...,b_m)=(0,...,0).
[/mm]
Reicht es o.B.d.A. (0,0) zu betrachten, weil sowieso gilt F(a,b)=0?
Irgendwie reicht das als Begründung doch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 17.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Meine Fragen dazu habe ich schon formuliert.
> Zu (a,b)=(0,0) einmal:
> vielleicht schreibt man besser:
> [mm](a,b)=(a_1,...,a_k,b_1,...,b_m)=(0,...,0).[/mm]
> Reicht es o.B.d.A. (0,0) zu betrachten, weil sowieso gilt
> F(a,b)=0?
Und was soll das begründen? Es ist viel mehr so: kann man vor das eigentliche F noch den Diffeomorphismus [m]x\mapsto x+(a,b)[/m] und dies hierfür lösen - man verschiebt also einfach linear im Urbildraum mit einer linearen Transformation. Wenn man das dann gelöst hat kann man es zurücktransformieren.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Und was soll das begründen? Es ist viel mehr so: kann man
> vor das eigentliche F noch den Diffeomorphismus [m]x\mapsto x+(a,b)[/m]
> und dies hierfür lösen - man verschiebt also einfach linear
> im Urbildraum mit einer linearen Transformation. Wenn man
> das dann gelöst hat kann man es zurücktransformieren.
>
> SEcki
Das ist mir nicht ganz klar.
x ist dann auch ein Element der Form (a,b).
Und dann bilde ich F(x+(a,b))? Aber es gilt doch F(a,b)=0, also müsste das doch auch Null sein?
Ich habe also noch nicht kapiert, warum es reicht den Beweis für (0,0) zu führen.
Und müssen die Mengen U,V offen sein, weil F sonst nicht stetig diffbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Do 18.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Das ist mir nicht ganz klar.
> x ist dann auch ein Element der Form (a,b).
Bitte was? x ist ein Vektor - ich habe eine Abbildung oben angegeben, die Translation um [m](a,b)[/m].
> Und dann bilde ich F(x+(a,b))? Aber es gilt doch F(a,b)=0,
Betrachte jetzt [m]G(x)=F(x+(a,b))[/m]. Beweise den Satz für G, dann mache die Translation rückgängig und du hast den Beweis für F.
> also müsste das doch auch Null sein?
Wenn du [m]x=(0,0)[/m] einsetzt! Das ist ja der Punkt!
> Und müssen die Mengen U,V offen sein, weil F sonst nicht
> stetig diffbar ist?
Wie wäre denn diff.bar für nicht offene Mengen definiert? Im Allgemeinen eher überhaupt nicht.
SEcki
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