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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Eindeutigkeitssatz
Eindeutigkeitssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eindeutigkeitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:10 Do 05.02.2015
Autor: rollroll

Aufgabe
Begründen Sie, warum für y'=x [mm] \wurzel{y}, [/mm] y(0)=0 der Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist.

Hallo.

Klar, f(x,y)=x [mm] \wurzel{y} [/mm] ist nicht Lipschitz in der zweiten Komponente und damit der Satz über die Eindeutigkeit der Lösung nicht anwendbar. Aber es hakt beim Beweis:

|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm] \wurzel{y}- \wurzel{z}| [/mm] Mit z=0 folgt
|x| [mm] \wurzel{y} \le [/mm] Ly (Betrag kann weg gelassen werden, da y>0). Also
|x| [mm] \le \wurzel{y} [/mm] Jetzt lasse ich y-->0 gehen und erhalte |x| [mm] \le [/mm] 0 Und das ist ja ein Widerspruch.

Ist das so ok?

        
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Do 05.02.2015
Autor: fred97


> Begründen Sie, warum für y'=x [mm]\wurzel{y},[/mm] y(0)=0 der
> Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist.
>  Hallo.
>
> Klar, f(x,y)=x [mm]\wurzel{y}[/mm] ist nicht Lipschitz in der
> zweiten Komponente und damit der Satz über die
> Eindeutigkeit der Lösung nicht anwendbar. Aber es hakt
> beim Beweis:
>  
> |f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm]\wurzel{y}- \wurzel{z}|[/mm]

???? Du machst also eine Widerspruchsbeweis und nimmst an, es gäbe ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit......

Dann sollte es lauten:

|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| [mm]\wurzel{y}- \wurzel{z}| \le L|y-z|[/mm]  für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle y,z [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm]




> Mit z=0 folgt
>  |x| [mm]\wurzel{y} \le[/mm] Ly (Betrag kann weg gelassen werden, da
> y>0).

y [mm] \ge [/mm] 0.

Jetzt passt es wieder.


> Also
>  |x| [mm]\le \wurzel{y}[/mm]

.....  für alle y>0.


> Jetzt lasse ich y-->0 gehen und
> erhalte |x| [mm]\le[/mm] 0 Und das ist ja ein Widerspruch.
>
> Ist das so ok?

Ja, bis auf das, was ich bemängelt habe.

FRED

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Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 Do 05.02.2015
Autor: fred97

Die Annahme: es gibt ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit

|f(x,y)-f(x,z)|=|x|| $ [mm] \wurzel{y}- \wurzel{z}| \le [/mm] L|y-z| $  für alle x $ [mm] \in \IR [/mm] $ und alle y,z $ [mm] \in [/mm] $ [0, $ [mm] \infty) [/mm] $

kannst Du auch ganz einfach durch ein Zahlenbeispiel widerlegen:


x=6L, y=9 und z=4 liefern den Unfug

   L=0 oder 6 [mm] \le [/mm] 5.

FRED

Bezug
        
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Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Do 05.02.2015
Autor: fred97


> Begründen Sie, warum für y'=x [mm]\wurzel{y},[/mm] y(0)=0 der
> Eindeutigkeitssatz nicht anwendbar ist.


Begründung Nr.3: wäre der Eindeutigkeitssatz anwendbar, so gäbe es Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I, derart, dass obiges AWP auf I genau eine Lösung hat.

Das ist aber nicht der Fall, denn

[mm] y_1(x)=0 [/mm] und [mm] y_2(x)=\bruch{1}{16}x^4 [/mm] sind Lösungen des obigen AWPs.

Preisfrage (zu gewinnen gibts nix !): wie bin ich wohl auf [mm] y_2 [/mm] gekommen ?

FRED




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Eindeutigkeitssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Do 05.02.2015
Autor: rollroll

Danke für deine Antworten!

Wie du auf [mm] y_2 [/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung der Veränderlichen machen. Oder mit scharfem Hinsehen ;-)

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Eindeutigkeitssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Do 05.02.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Antworten!
>  
> Wie du auf [mm]y_2[/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung
> der Veränderlichen machen.


Ja, dann mach mal.


>  Oder mit scharfem Hinsehen ;-)

Dazu braucht man schon viel Übung und ein gutes Auge !

FRED


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Eindeutigkeitssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Do 05.02.2015
Autor: rollroll


> > Danke für deine Antworten!
>  >  
> > Wie du auf [mm]y_2[/mm] gekommen bist? Ich würde es mit Trennung
> > der Veränderlichen machen.
>  
>
> Ja, dann mach mal.

Wie das geht ist schon klar. Du hast die Lösung ja auch schon angegeben. Ich erhalte dasselbe Ergebnis.

>
> >  Oder mit scharfem Hinsehen ;-)

>
> Dazu braucht man schon viel Übung und ein gutes Auge !
>  

Dein Post hatte sich so angehört, als hättest du einen Trick verwendet.

> FRED
>  


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