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Eindeutigkeitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 So 04.10.2015
Autor: James90

Hi!

Ich habe eine Frage zu einer Voraussetzung im Eindeutigkeitssatz. Ich werde nicht alle Voraussetzungen hier wiederholen, sondern meine Frage anpassen.

Sei [mm] (\Omega,F) [/mm] ein messbarer Raum und E ein durchschnittsstabiles Erzeugenensystem von F. Nun geht es um die eine Voraussetzung, die meiner Meinung nach nicht äquivalent ist.

Aus meinem Skript:
Es existiert eine Folge [mm] (A_n) [/mm] in E mit [mm] A_n\uparrow\Omega. [/mm]

Aus Wikipedia:
Es existiert eine Folge [mm] (A_n) [/mm] in E mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n=\Omega. [/mm]

Ich denke, dass das nicht äquivalent ist, denn [mm] A_n\uparrow\Omega [/mm] heißt [mm] $A_n\subseteq A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n=\Omega. [/mm] Bei Wikipedia fehlt aber [mm] "$A_n\subseteq A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN". [/mm] Folgt das irgendwie, vielleicht durch das spezielle E oder ist diese zusätzliche Voraussetzung vernachlässigbar? Im Beweis konnte ich auch kein Nutzen davon erkennen.

Danke!

        
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 So 04.10.2015
Autor: tobit09

Hallo James90!


> Sei [mm](\Omega,F)[/mm] ein messbarer Raum und E ein
> durchschnittsstabiles Erzeugenensystem von F. Nun geht es
> um die eine Voraussetzung, die meiner Meinung nach nicht
> äquivalent ist.
>
> Aus meinem Skript:
>  Es existiert eine Folge [mm](A_n)[/mm] in E mit [mm]A_n\uparrow\Omega.[/mm]
>  
> Aus Wikipedia:
> Es existiert eine Folge [mm](A_n)[/mm] in E mit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\Omega.[/mm]
>  
> Ich denke, dass das nicht äquivalent ist, denn
> [mm]A_n\uparrow\Omega[/mm] heißt [mm]A_n\subseteq A_{n+1}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\Omega.[/mm] Bei Wikipedia
> fehlt aber "[mm]A_n\subseteq A_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN".[/mm] Folgt
> das irgendwie, vielleicht durch das spezielle E oder ist
> diese zusätzliche Voraussetzung vernachlässigbar?

Du hast Recht, dass die beiden Voraussetzungen aus Skript und Wikipedia für sich genommen nicht äquivalent sind. (Das kann man sich an einem Beispiel klarmachen.)

Möglicherweise ist der Satz aus Wikipedia etwas allgemeiner als der aus eurem Skript.
Dazu müsste ich aber beide vollständig sehen.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 So 04.10.2015
Autor: James90

Danke für die schnelle Antwort!

Aus meinem Skript:

Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] und C ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei auf F definierte Maße [mm] \mu,\nu [/mm] auf C mit einander übereinstimmen und eine Folge [mm] (\Omega_n)_{n\in\IN} [/mm] in C existiert mit [mm] \Omega_n\uparrow\Omega [/mm] und [mm] \mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty [/mm] für jedes [mm] n\in\IN, [/mm] so gilt [mm] \mu=\nu [/mm] auf F.

Aus Wikipedia:

Für zwei Maße [mm] $\mu,\nu: A\to[0,\infty]$ [/mm] auf einem gemeinsamen Messraum [mm] (\Omega, [/mm] A) gilt der folgende Eindeutigkeitssatz:

Es gebe ein durchschnittstabilen Erzeuger E von A, d.h. es gilt [mm] A=\sigma(E) [/mm] und für alle [mm] $E_1,E_2\in [/mm] E$ ist [mm] $E_1\cap E_2\in [/mm] E$, mit folgenden Eigenschaften:

1) Für alle [mm] $E\in [/mm] E$ gilt [mm] \mu(E)=\nu(E), [/mm] also [mm] \mu|_E=\nu|_E [/mm] und
2) Es gibt eine Folge [mm] (E_n)_{n\in\IN} [/mm] von Mengen in E mit [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=\Omega [/mm] und [mm] \mu(E_n)=\nu(E_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]

Dann gilt [mm] \mu=\nu. [/mm]

Heißt "allgemeiner" mit weniger Voraussetzungen? Dann verstehe ich deinen letzten Satz.

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 So 04.10.2015
Autor: fred97


> Danke für die schnelle Antwort!
>  
> Aus meinem Skript:
>  
> Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und C ein
> durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei
> auf F definierte Maße [mm]\mu,\nu[/mm] auf C mit einander
> übereinstimmen und eine Folge [mm](\Omega_n)_{n\in\IN}[/mm] in C
> existiert mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für jedes [mm]n\in\IN,[/mm] so
> gilt [mm]\mu=\nu[/mm] auf F.
>  
> Aus Wikipedia:
>  
> Für zwei Maße [mm]\mu,\nu: A\to[0,\infty][/mm] auf einem
> gemeinsamen Messraum [mm](\Omega,[/mm] A) gilt der folgende
> Eindeutigkeitssatz:
>  
> Es gebe ein durchschnittstabilen Erzeuger E von A, d.h. es
> gilt [mm]A=\sigma(E)[/mm] und für alle [mm]E_1,E_2\in E[/mm] ist [mm]E_1\cap E_2\in E[/mm],
> mit folgenden Eigenschaften:
>  
> 1) Für alle [mm]E\in E[/mm] gilt [mm]\mu(E)=\nu(E),[/mm] also [mm]\mu|_E=\nu|_E[/mm]
> und
>  2) Es gibt eine Folge [mm](E_n)_{n\in\IN}[/mm] von Mengen in E mit
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(E_n)=\nu(E_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>  
> Dann gilt [mm]\mu=\nu.[/mm]
>  
> Heißt "allgemeiner" mit weniger Voraussetzungen?


Ja

FRED


> Dann
> verstehe ich deinen letzten Satz.


Bezug
                        
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Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 So 04.10.2015
Autor: tobit09


> Aus meinem Skript:
>  
> Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und C ein
> durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei
> auf F definierte Maße [mm]\mu,\nu[/mm] auf C mit einander
> übereinstimmen und eine Folge [mm](\Omega_n)_{n\in\IN}[/mm] in C
> existiert mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für jedes [mm]n\in\IN,[/mm] so
> gilt [mm]\mu=\nu[/mm] auf F.
>  
> Aus Wikipedia:
>  
> Für zwei Maße [mm]\mu,\nu: A\to[0,\infty][/mm] auf einem
> gemeinsamen Messraum [mm](\Omega,[/mm] A) gilt der folgende
> Eindeutigkeitssatz:
>  
> Es gebe ein durchschnittstabilen Erzeuger E von A, d.h. es
> gilt [mm]A=\sigma(E)[/mm] und für alle [mm]E_1,E_2\in E[/mm] ist [mm]E_1\cap E_2\in E[/mm],
> mit folgenden Eigenschaften:
>  
> 1) Für alle [mm]E\in E[/mm] gilt [mm]\mu(E)=\nu(E),[/mm] also [mm]\mu|_E=\nu|_E[/mm]
> und
>  2) Es gibt eine Folge [mm](E_n)_{n\in\IN}[/mm] von Mengen in E mit
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(E_n)=\nu(E_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>  
> Dann gilt [mm]\mu=\nu.[/mm]

Dann trifft der Wikipedia-Satz in der Tat eine "bessere"/"stärkere"/"allgemeinere" Aussage als der Skript-Satz, da er mit "schwächeren"/"weniger restriktiven" Voraussetzungen auskommt und somit in mehr Situationen anwendbar ist.

(Diese "Aussage" ist nicht mathematisch präzise.)

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Eindeutigkeitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:18 Mo 05.10.2015
Autor: James90

Satz: Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] und C ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei auf F definierte Maße [mm] \mu,\nu [/mm] auf C mit einander übereinstimmen und eine Folge [mm] (\Omega_n)_{n\in\IN} [/mm] in C existiert mit [mm] \Omega_n\uparrow\Omega [/mm] und [mm] \mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty [/mm] für jedes [mm] n\in\IN, [/mm] so gilt [mm] \mu=\nu [/mm] auf F.

Beweis: Wir beweisen zunächst den Spezialfall [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty. [/mm] Sei [mm] F'=\{A\in F:\mu(A)=\nu(A)\}. [/mm] Dann ist [mm] $C\subseteq [/mm] F'$ und F' ein Dynkin-System.

1) [mm] $\Omega\in [/mm] F'$ klar
2) [mm] $C\in F'\Rightarrow \mu(C^c)=\mu(\Omega\setminus C)=\mu(\Omega)-\mu(C)=\nu(\Omega)-\nu(C)=\nu(C^c)\Rightarrow C^c\in [/mm] F'$
3) Für jede Folge [mm] (C_n) [/mm] von paarweise disjunkten Mengen aus F' gilt [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}C_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(C_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(C_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}C_n), [/mm] also [mm] $\bigcup_{n\in\IN}C_n\in [/mm] F'$

Somit folgt [mm] F'\supseteq d(C)=\sigma(C)=F. [/mm]

Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen Maße [mm] \mu_n [/mm] und [mm] \nu_n [/mm] mit [mm] \mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n) [/mm] und [mm] \nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$. Nun wenden wir obige Aussage an und erhalten [mm] \mu_n=\nu_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Mit Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] folgt die Aussage.



Wird denn [mm] "\Omega_{n}\subseteq\Omega_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN" [/mm] in dem Beweis überhaupt verwendet? Falls nicht, sehe ich das dann richtig, dass ich einfach diese Voraussetzung aus dem Satz streichen und [mm] "\Omega_n\uparrow\Omega" [/mm] durch [mm] "\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega" [/mm] ersetzten kann?



Der Beweis mit meinen Gedanken:

Beweis: Wir beweisen zunächst den Spezialfall [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty. [/mm] Sei [mm] F'=\{A\in F:\mu(A)=\nu(A)\}. [/mm] Dann ist [mm] $C\subseteq [/mm] F'$ und F' ein Dynkin-System.

1) [mm] $\Omega\in [/mm] F'$ klar

...F ist nach Voraussetzung eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] und somit ist nach Definition [mm] $\Omega\in [/mm] F$. Damit ist [mm] \Omega [/mm] ein Kandidat für F'. In der Tat: Wegen der Voraussetzung [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega) [/mm] ist [mm] $\Omega\in [/mm] F'$

2) [mm] $C\in F'\Rightarrow \mu(C^c)=\mu(\Omega\setminus C)=\mu(\Omega)-\mu(C)=\nu(\Omega)-\nu(C)=\nu(C^c)\Rightarrow C^c\in [/mm] F'$

...Ich finde das nicht sauber. Ich probiere es anders.

Sei [mm] $C\in [/mm] F'$, dann existiert ein [mm] $C_2\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(C_2)=\nu(C_2). [/mm] F ist eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega, [/mm] also ist [mm] $C_2^c\in [/mm] F$ und damit ein Kandidat für F'. In der Tat: Es ist [mm] $C_2^c\in F\subseteq P(\Omega)$, [/mm] also [mm] C_2^c\subseteq\Omega. [/mm] Wegen der Monotonie des Maßes ist [mm] \mu(C_2^c)\le\mu(\Omega) [/mm] und [mm] \nu(C_2^c)\le\nu(\Omega). [/mm] Wegen der Voraussetzung [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty [/mm] ist dann [mm] \mu(C_2^c)<\infty [/mm] und [mm] \nu(C_2^c)<\infty. [/mm] Also dürfen wir rechnen [mm] \mu(C_2^c)=\mu(\Omega\setminus C_2)=\mu(\Omega)-\mu(C_2) [/mm] und [mm] \nu(C_2^c)=\nu(\Omega\setminus C_2)=\nu(\Omega)-\nu(C_2). [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega) [/mm] und [mm] \mu(C_2)=\nu(C_2), [/mm] also folgt [mm] \mu(C_2^c)=\nu(C_2^c) [/mm] und damit ist [mm] $C_2^c\in [/mm] F'$. Jetzt muss ich doch eigentlich nur noch [mm] $C:=C_2\in [/mm] F'$ setzen, dann folgt [mm] $C^c=C_2^c\in [/mm] F'$, oder liege ich falsch? Wie schreibt man das besser auf?

3) Für jede Folge [mm] (C_n) [/mm] von paarweise disjunkten Mengen aus F' gilt [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}C_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(C_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(C_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}C_n), [/mm] also [mm] $\bigcup_{n\in\IN}C_n\in [/mm] F'$

...Ich finde das nicht sauber. Ich probiere es anders.

Sei [mm] (C_n) [/mm] eine paarweise disjunkte Folge in F'. Also existiert eine paarweise disjunkte Folge [mm] (D_n) [/mm] in F mit [mm] \mu(D_n)=\nu(D_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] F ist eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega, [/mm] also ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN}D_n\in [/mm] F$ und damit ein Kandidat für F'. In der Tat: Wegen der Additivität der Maße für disjunkte messbare Mengen gilt [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(D_n) [/mm] und [mm] \nu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(D_n). [/mm] Wegen der Voraussetzung [mm] \mu(D_n)=\nu(D_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] folgt [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(D_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(D_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}D_n) [/mm] und damit ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN}D_n\in [/mm] F'$. Auch hier fehlt mir der Übergang. Außerdem habe ich [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty [/mm] nicht benutzt.

Somit folgt [mm] F'\supseteq d(C)=\sigma(C)=F. [/mm]

...Ist C ein durchschnittstabiles System, dann gilt [mm] \sigma(C)=d(C). [/mm] C ist hier ein durchschnittstabiles Erzeugenensystem auf F, also ist [mm] F=\sigma(C), [/mm] also [mm] d(C)=\sigma(C)=F. [/mm] Wir haben gezeigt, dass F' ein Dynkin-System ist. Wieso folgt nun [mm] $F'\supseteq [/mm] F$? [mm] $C\subseteq [/mm] F'$ folgt dann zum Beispiel aus [mm] $F'\supseteq F=\sigma(C)\supseteq [/mm] C$. Wozu brauchen wir das eigentlich?

...Erhalten wir [mm] \mu_{|C}=\nu_{|C}, [/mm] wobei [mm] F=\sigma(C) [/mm] erst jetzt oder ist das schon ganz oben mit der Definition von F' gegeben? Die Idee dahinter verstehe ich leider weiterhin nicht.

Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen Maße [mm] \mu_n [/mm] und [mm] \nu_n [/mm] mit [mm] \mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n) [/mm] und [mm] \nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$. Nun wenden wir obige Aussage an und erhalten [mm] \mu_n=\nu_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Mit Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] folgt die Aussage.

...Wir definieren [mm] F'=\{A\in F:\mu_n(A)=\nu_n(A)\}. \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] sind endlich, aber im Allgemeinen ist hier nicht [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega). [/mm]

...Wegen der Stetigkeit vom Maß und der Existenz einer Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C mit $ [mm] \Omega_n\uparrow\Omega [/mm] $ und [mm] $\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty [/mm] $ für alle [mm] n\in\IN [/mm] folgt: [mm] \lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A\cap \Omega_n)=\mu(A\cap \lim_{n\to\infty}\Omega_n)=\mu(A\cap\Omega)=\mu(\Omega) [/mm] und analog [mm] \lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(\Omega). [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] \mu(\Omega)<\infty [/mm] und [mm] \nu(\Omega)<\infty, [/mm] aber wie kommt man nun auf [mm] \lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\nu_n(A) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$, wenn nach Voraussetzung im Allgemeinen [mm] \mu(\Omega)\not=\nu(\Omega)? [/mm] Wieso folgt nun [mm] \mu_{|F}=\nu_{|F}? [/mm]

...Angenommen wir setzen nur die Existenz einer Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega [/mm] voraus. Wie geht das dann weiter?

...Betrachten wir im Allgemeinen nur endliche Maße, weil der Satz von Caratheodory über Sigma-endliche Prämaße geht? Das heißt doch aber noch lange nicht, dass das Maß endlich ist.

Bezug
                                        
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:08 Di 06.10.2015
Autor: tobit09


> Der Beweis mit meinen Gedanken:
>  
> Beweis: Wir beweisen zunächst den Spezialfall
> [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty.[/mm] Sei [mm]F'=\{A\in F:\mu(A)=\nu(A)\}.[/mm]
> Dann ist [mm]C\subseteq F'[/mm] und F' ein Dynkin-System.
>  
> 1) [mm]\Omega\in F'[/mm] klar
>  
> ...F ist nach Voraussetzung eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm]
> und somit ist nach Definition [mm]\Omega\in F[/mm]. Damit ist [mm]\Omega[/mm]
> ein Kandidat für F'. In der Tat: Wegen der Voraussetzung
> [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)[/mm] ist [mm]\Omega\in F'[/mm]

[ok]


> 2) [mm]C\in F'\Rightarrow \mu(C^c)=\mu(\Omega\setminus C)=\mu(\Omega)-\mu(C)=\nu(\Omega)-\nu(C)=\nu(C^c)\Rightarrow C^c\in F'[/mm]

Hier hat der Autor des Beweises übersehen, dass er die Bezeichnung $C$ schon für das Erzeugendensystem [mm] $C\subseteq [/mm] F$, auf dem [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] nach Voraussetzung übereinstimmen, verwendet hat.
Hier meint er jedoch ein völlig anderes $C$.


> ...Ich finde das nicht sauber. Ich probiere es anders.
>  
> Sei [mm]C\in F'[/mm], dann existiert ein [mm]C_2\in F[/mm] mit
> [mm]\mu(C_2)=\nu(C_2).[/mm]

Mir ist nicht klar, wozu du [mm] $C_2$ [/mm] benötigst?
Unter der Annahme [mm] $C\in [/mm] F'$ haben wir [mm] $C\in [/mm] F$ und [mm] $\mu(C)=\nu(C)$. [/mm]
Alle Überlegungen, die du mit [mm] $C_2$ [/mm] im Folgenden anstellst, sind genauso auf C anstelle von [mm] $C_2$ [/mm] anwendbar.


> F ist eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega,[/mm]
> also ist [mm]C_2^c\in F[/mm] und damit ein Kandidat für F'.

[ok]


> In der
> Tat: Es ist [mm]C_2^c\in F\subseteq P(\Omega)[/mm], also
> [mm]C_2^c\subseteq\Omega.[/mm]

[ok]


> Wegen der Monotonie des Maßes ist
> [mm]\mu(C_2^c)\le\mu(\Omega)[/mm] und [mm]\nu(C_2^c)\le\nu(\Omega).[/mm]

Ja.


> Wegen der Voraussetzung [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty[/mm] ist
> dann [mm]\mu(C_2^c)<\infty[/mm] und [mm]\nu(C_2^c)<\infty.[/mm]

Ja.


> Also dürfen
> wir rechnen [mm]\mu(C_2^c)=\mu(\Omega\setminus C_2)=\mu(\Omega)-\mu(C_2)[/mm]
> und [mm]\nu(C_2^c)=\nu(\Omega\setminus C_2)=\nu(\Omega)-\nu(C_2).[/mm]

[ok]


> Nach Voraussetzung ist [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)[/mm] und
> [mm]\mu(C_2)=\nu(C_2),[/mm] also folgt [mm]\mu(C_2^c)=\nu(C_2^c)[/mm] und
> damit ist [mm]C_2^c\in F'[/mm].

[ok]

Damit bist du mit 2) fertig, wenn du überall C statt [mm] $C_2$ [/mm] schreibst.


> Jetzt muss ich doch eigentlich nur
> noch [mm]C:=C_2\in F'[/mm] setzen, dann folgt [mm]C^c=C_2^c\in F'[/mm], oder
> liege ich falsch?

$C$ darfst du nicht frei wählen (aber das musst du auch nicht).
$C$ ist ein beliebig vorgegebenes Element von $F'$.


> Wie schreibt man das besser auf?

Wie gesagt: Gleiche Überlegung mit C anstelle von [mm] $C_2$ [/mm] notieren.



> 3) Für jede Folge [mm](C_n)[/mm] von paarweise disjunkten Mengen
> aus F' gilt
> [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}C_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(C_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(C_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}C_n),[/mm]
> also [mm]\bigcup_{n\in\IN}C_n\in F'[/mm]
>  
> ...Ich finde das nicht sauber. Ich probiere es anders.
>  
> Sei [mm](C_n)[/mm] eine paarweise disjunkte Folge in F'.

Guter Anfang. Zu zeigen ist, dass für diese Folge [mm] $\bigcup_{n\in\IN} C_n\in [/mm] F'$ gilt.


> Also
> existiert eine paarweise disjunkte Folge [mm](D_n)[/mm] in F mit
> [mm]\mu(D_n)=\nu(D_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]

Wieder ist es überflüssig, eine andere Folge einzuführen.
Stelle die folgenden Überlegungen mit der Folge der [mm] $C_n$ [/mm] anstelle der [mm] $D_n$ [/mm] an.


> F ist eine
> Sigma-Algebra auf [mm]\Omega,[/mm] also ist [mm]\bigcup_{n\in\IN}D_n\in F[/mm]
> und damit ein Kandidat für F'. In der Tat: Wegen der
> Additivität der Maße für disjunkte messbare Mengen gilt
> [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(D_n)[/mm] und
> [mm]\nu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(D_n).[/mm] Wegen der
> Voraussetzung [mm]\mu(D_n)=\nu(D_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] folgt
> [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(D_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(D_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}D_n)[/mm]
> und damit ist [mm]\bigcup_{n\in\IN}D_n\in F'[/mm].

[ok]


> Auch hier fehlt
> mir der Übergang.

Wie gesagt: [mm] $C_n$ [/mm] statt [mm] $D_n$ [/mm] betrachten.


> Außerdem habe ich
> [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)<\infty[/mm] nicht benutzt.

Das benötigst du bei 3) auch nicht.


> Somit folgt [mm]F'\supseteq d(C)=\sigma(C)=F.[/mm]
>
> ...Ist C ein durchschnittstabiles System, dann gilt
> [mm]\sigma(C)=d(C).[/mm] C ist hier ein durchschnittstabiles
> Erzeugenensystem auf F, also ist [mm]F=\sigma(C),[/mm] also
> [mm]d(C)=\sigma(C)=F.[/mm]

[ok]


> Wir haben gezeigt, dass F' ein
> Dynkin-System ist. Wieso folgt nun [mm]F'\supseteq F[/mm]?
> [mm]C\subseteq F'[/mm] folgt dann zum Beispiel aus [mm]F'\supseteq F=\sigma(C)\supseteq C[/mm].

[mm] $C\subseteq [/mm] F'$ kannst du dir direkt an der Definition von F' klarmachen (unter Berücksichtigung der Übereinstimmung von [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auf C).

$F'$ ist also ein Dynkin-System, das $C$ umfasst.
$d(C)$ ist das (bezüglich [mm] "$\subseteq$") [/mm] kleinste Dynkin-System, das $C$ umfasst.
Also gilt [mm] $d(C)\subseteq [/mm] F'$.


> Wozu brauchen wir das eigentlich?

Die Eigenschaft [mm] $F'\supseteq [/mm] F$ bedeutet: Für jedes [mm] $A\in [/mm] F$ gilt [mm] $A\in [/mm] F'$, also  (nach Definition von F') [mm] $\mu(A)=\nu(A)$. [/mm]
Also gilt [mm] $\mu=\nu$. [/mm]

  

> ...Erhalten wir [mm]\mu_{|C}=\nu_{|C},[/mm] wobei [mm]F=\sigma(C)[/mm] erst
> jetzt oder ist das schon ganz oben mit der Definition von
> F' gegeben? Die Idee dahinter verstehe ich leider weiterhin
> nicht.

[mm] $\mu|_C=\nu|_C$ [/mm] ist ja eine Voraussetzung des Satzes (Sprechweise: [mm] "$\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$" [/mm] stimmen auf $C$ überein").
Behauptung ist, dass unter den gegebenen Voraussetzungen [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] schon auf ganz $F$ übereinstimmen, d.h. dass [mm] $\mu(A)=\nu(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$ (und nicht nur für alle [mm] $A\in [/mm] C$) gilt, d.h. [mm] $\mu=\nu$. [/mm]



Gezeigt ist jetzt:

(*)    Je zwei auf F definierte Maße [mm] $\mu',\nu'$, [/mm] die auf $C$ übereinstimmen und [mm] $\mu'(\Omega)=\nu'(\Omega)<\infty$ [/mm] erfüllen, stimmen bereits auf ganz $F$ überein.

Wie wir diese Aussage gezeigt haben, können wir nun getrost wieder "vergessen", wir benötigen nur noch diese Aussage.

  

> Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen
> Maße [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] mit [mm]\mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n)[/mm] und
> [mm]\nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n)[/mm] für alle [mm]A\in F[/mm]. Nun wenden
> wir obige Aussage an und erhalten [mm]\mu_n=\nu_n[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN.[/mm] Mit Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] folgt die Aussage.
>  
> ...Wir definieren [mm]F'=\{A\in F:\mu_n(A)=\nu_n(A)\}[/mm].

Das ist gar nicht (explizit) nötig.


> [mm]\mu[/mm] und
> [mm]\nu[/mm] sind endlich, aber im Allgemeinen ist hier nicht
> [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega).[/mm]

Umgekehrt: [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] setzen wir nun nicht mehr als endlich voraus.

[mm] $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)$ [/mm] lässt sich jedoch aus den Voraussetzungen herleiten (folgt am Ende aus [mm] $\mu=\nu$). [/mm]


>  ...Wegen der Stetigkeit vom Maß und der Existenz einer
> Folge [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] folgt:

...für alle [mm] $A\in [/mm] F$:

> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A\cap \Omega_n)=\mu(A\cap \lim_{n\to\infty}\Omega_n)=\mu(A\cap\Omega)=\mu(\Omega)[/mm]

Am Ende muss es [mm] $\mu(A)$ [/mm] statt [mm] $\mu(\Omega)$ [/mm] heißen.

Ja, denn mit [mm] $\Omega_n\uparrow \Omega$ [/mm] folgt auch [mm] $A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega$. [/mm]


> und analog [mm]\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(\Omega).[/mm]

Auch hier muss es [mm] $\nu(A)$ [/mm] statt [mm] $\nu(\Omega)$ [/mm] heißen.


> Nach
> Voraussetzung ist [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] und
> [mm]\nu(\Omega)<\infty,[/mm]

Nein, im allgemeinen Fall setzen wir das nicht mehr voraus.


> aber wie kommt man nun auf
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)[/mm] für
> alle [mm]A\in F[/mm], wenn nach Voraussetzung im Allgemeinen
> [mm]\mu(\Omega)\not=\nu(\Omega)?[/mm]

Indem man [mm] $\mu_n(A)=\nu_n(A)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] überlegt.

Dass dies tatsächlich für alle [mm] $A\in [/mm] F$ gilt, heißt nichts anderes als [mm] $\mu_n=\nu_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]

Und dies erhalten wir aus dem schon bewiesenen Spezialfall (*), indem wir [mm] $\mu':=\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu':=\nu_n$ [/mm] betrachten:

Wir müssen also nur folgende Voraussetzungen prüfen:
a) [mm] $\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu_n$ [/mm] stimmen auf C überein
b) [mm] $\mu_n(\Omega)=\nu_n(\Omega)$ [/mm]
c) [mm] $\nu_n(\Omega)<\infty$. [/mm]

Das Prüfen von a), b) und c) überlasse ich dir.


> Wieso folgt nun
> [mm]\mu_{|F}=\nu_{|F}?[/mm]

(Es gilt [mm] $\mu|_F=\mu$ [/mm] und entsprechend [mm] $\nu|_F=\nu$.) [/mm]

Für alle [mm] $A\in [/mm] F$ gilt nach unseren Überlegungen

      [mm] $\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(A)$. [/mm]


> ...Angenommen wir setzen nur die Existenz einer Folge
> [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit [mm]\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega[/mm]
> voraus. Wie geht das dann weiter?

Genau diesen Fall haben wir ja gerade behandelt (mit der Betrachtung der Maße [mm] $\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu_n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$). [/mm]



> ...Betrachten wir im Allgemeinen nur endliche Maße, weil
> der Satz von Caratheodory über Sigma-endliche Prämaße
> geht?

Der Maßerweiterungssatz von Caratheodory macht eine Aussage über die Existenz von fortsetzenden Maßen.
Der in diesem Thread behandelte Satz macht eine Aussage über die Eindeutigkeit von fortsetzenden Maßen.

Was meinst du mit "Im Allgemeinen betrachten wir nur endliche Maße"?

Der in diesem Thread behandelte Satz ist nur auf Sigma-endliche Maße anwendbar.
Wir haben die Existenz der gegen [mm] $\Omega$ [/mm] aufsteigenden Folge der [mm] $\Omega_n\in [/mm] C$ ja explizit in unserem Beweis gebraucht.


> Das heißt doch aber noch lange nicht, dass das Maß
> endlich ist.  

So ist es. Endliche Maße sind Sigma-endlich, aber Sigma-endliche Maße müssen nicht endlich sein.


Ich finde: Du gehst genau richtig an so einen Beweis ran und stellst die richtigen Fragen und Überlegungen an. [ok]


Um noch kurz zu deiner Ausgangsfrage zurückzukommen:
Die allgemeinere Wikipedia-Version ist etwas aufwändiger zu beweisen.
Das ist vermutlich der Grund, dass sich dein(e) Dozent(in) für die etwas speziellere Version eines Eindeutigkeitssatzes entschieden hat.

Bezug
                                                
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:18 Do 08.10.2015
Autor: James90

Danke für die zahlreichen Erklärungen und Verbesserungen, die mir sehr geholfen haben!

Zu zeigen: [mm] $F'\supseteq [/mm] F$. Nach Voraussetzung ist [mm] \mu_{|C}=\nu_{|C}, [/mm] d.h. für alle [mm] $A\in [/mm] C$ gilt [mm] \mu(A)=\nu(A). [/mm] Außerdem ist [mm] F'=\{A\in F:\mu(A)=\nu(A)\} [/mm] gegeben. C ist ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F, d.h. es gilt [mm] F=\sigma(C). [/mm] Weiterhin ist [mm] $\sigma(C)\supseteq [/mm] C$, also insbesondere [mm] $F=\sigma(C)\supseteq [/mm] C$. Ist nun [mm] $A'\in [/mm] C$, so folgt [mm] $A'\in [/mm] F$. Nach Voraussetzung gilt [mm] \mu(A)=\nu(A) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] C$, also auch insbesondere für unser [mm] $A'\in [/mm] F$ und somit ist [mm] $A'\in [/mm] F'$. Es war A' beliebig (aber fest) gewählt, also gilt [mm] $F'\supseteq [/mm] F$. Insgesamt also [mm] $F'\supseteq F=\sigma(C)\supseteq [/mm] C$ und somit auch [mm] $F'\supseteq [/mm] C$.

> > Somit folgt $ [mm] F'\supseteq d(C)=\sigma(C)=F. [/mm] $
> >
> > ...Ist C ein durchschnittstabiles System, dann gilt
> > $ [mm] \sigma(C)=d(C). [/mm] $ C ist hier ein durchschnittstabiles
> > Erzeugenensystem auf F, also ist $ [mm] F=\sigma(C), [/mm] $ also
> > $ [mm] d(C)=\sigma(C)=F. [/mm] $

Benötigt der obere Beweis überhaupt noch das Argument [mm] $d(C)=\sigma(C)$? [/mm] Du hast ja zunächst [mm] $F'\supseteq [/mm] C$ begründet und dann [mm] $d(C)\subseteq [/mm] F'$ gefolgert. Mit [mm] d(C)=\sigma(C)=F [/mm] folgt dann [mm] $F'\supseteq [/mm] F$. So scheint es auch der Beweis in meinem Skript zu machen.

> Gezeigt ist jetzt:
>  
> (*)    Je zwei auf F definierte Maße [mm]\mu',\nu'[/mm], die auf [mm]C[/mm]
> übereinstimmen und [mm]\mu'(\Omega)=\nu'(\Omega)<\infty[/mm]
> erfüllen, stimmen bereits auf ganz [mm]F[/mm] überein.

Aber die anderen Voraussetzungen bleiben für den "allgemeinen Fall" erhalten, oder?

- Es sei F eine Sigma-Algebra auf $ [mm] \Omega [/mm] $ und C ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F
- Es existiere eine Folge $ [mm] (\Omega_n)_{n\in\IN} [/mm] $ in C mit $ [mm] \Omega_n\uparrow\Omega [/mm] $ und $ [mm] \mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty [/mm] $ für jedes $ [mm] n\in\IN$ [/mm]

> Wie wir diese Aussage gezeigt haben, können wir nun
> getrost wieder "vergessen", wir benötigen nur noch diese
> Aussage.
>  
>
> > Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen
> > Maße [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] mit [mm]\mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n)[/mm] und
> > [mm]\nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n)[/mm] für alle [mm]A\in F[/mm]. Nun wenden
> > wir obige Aussage an und erhalten [mm]\mu_n=\nu_n[/mm] für alle
> > [mm]n\in\IN.[/mm] Mit Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] folgt die Aussage.

> Umgekehrt: [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] setzen wir nun nicht mehr als
> endlich voraus.

Am Anfang steht aber, dass wir für den allgemeinen Fall endlichen Maße betrachten. Ist das im Beweis ein Tippfehler?

Wir betrachten also [mm] \mu':=\mu_n [/mm] und [mm] \nu':=\nu_n [/mm] und wollen (*) anwenden. Um (*) anzuwenden zeigen wir (später)

>  a) [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] stimmen auf C überein
>  b) [mm]\mu_n(\Omega)=\nu_n(\Omega)[/mm]
>  c) [mm]\nu_n(\Omega)<\infty[/mm].

Wegen (*) folgt dann [mm] $\mu'_{|F}=\nu'_{|F}$, [/mm] also [mm] \mu'=\nu'. [/mm] Das ist äquivalent zu [mm] \mu_n=\nu_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (**). Wegen der Stetigkeit vom Maß und der Existenz einer Folge [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] folgt für alle [mm] $A\in [/mm] F$: [mm] \lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A\cap \Omega_n)=\mu(A\cap \lim_{n\to\infty}\Omega_n)=\mu(A\cap\Omega)=\mu(A), [/mm] denn mit $ [mm] \Omega_n\uparrow \Omega [/mm] $ folgt auch $ [mm] A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega [/mm] $. Analog gilt [mm] \lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(A) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$. Wegen (**) gilt für alle [mm] $A\in [/mm] F$: $ [mm] \mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(A) [/mm] $, also [mm] \mu_{|F}=\nu_{|F}, [/mm] also [mm] \mu=\nu. [/mm]

Zu zeigen: [mm] $\Omega_n\uparrow\Omega\Rightarrow A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega$. [/mm]
Sei [mm] \Omega_n\uparrow\Omega, [/mm] d.h. [mm] \Omega_{n}\subseteq\Omega_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und es existiert eine Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega. [/mm]
Also zu zeigen: 1) [mm] $A\cap\Omega_n\subseteq A\cap\Omega_{n+1}$ [/mm] und 2) Es existiert eine Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n)=A\cap\Omega. [/mm]
Zu 1) Nach Voraussetzung ist [mm] \Omega_{n}\subseteq\Omega_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Wie folgere ich nun [mm] $A\cap\Omega_n\subseteq A\cap\Omega_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN? [/mm]
Zu 2) Nach Voraussetzung existiert eine Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega. [/mm] Es folgt [mm] \bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n)=A\cap\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=A\cap\Omega. [/mm]

> Das Prüfen von a), b) und c) überlasse ich dir.

Hier habe ich lange probiert, aber nichts hinbekommen. Wie geht das?

> > ...Betrachten wir im Allgemeinen nur endliche Maße, weil
> > der Satz von Caratheodory über Sigma-endliche Prämaße
> > geht?
>  Der Maßerweiterungssatz von Caratheodory macht eine
> Aussage über die Existenz von fortsetzenden Maßen.
> Der in diesem Thread behandelte Satz macht eine Aussage
> über die Eindeutigkeit von fortsetzenden Maßen.
>  
> Was meinst du mit "Im Allgemeinen betrachten wir nur
> endliche Maße"?
>  
> Der in diesem Thread behandelte Satz ist nur auf
> Sigma-endliche Maße anwendbar.
> Wir haben die Existenz der gegen [mm]\Omega[/mm] aufsteigenden
> Folge der [mm]\Omega_n\in C[/mm] ja explizit in unserem Beweis
> gebraucht.

Also wir haben folgenden Satz (Caratheodory):

Es sei [mm] \mu_0 [/mm] ein sigma-endliches Prämaß auf einer Algebra A. Dann gibt es genau ein Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \sigma(A), [/mm] das [mm] \mu_0 [/mm] erweitert.

Mit meinen Worten: Sei [mm] \mu_0:A\to[0,\infty] [/mm] ein sigma-endliches Prämaß. Dann gibt es genau Maß [mm] \mu:\sigma(A)\to[0,\infty] [/mm] mit [mm] \mu_0_{|A}=\mu_{|A}. [/mm]

Dadrunter steht, dass wir den Existenzteil nicht beweisen, sondern im Bauer nachlesen können. Die Eindeutigkeit soll direkt aus dem "Eindeutigkeitssatz" folgen:

Es sei F eine Sigma-Algebra auf $ [mm] \Omega [/mm] $ und C ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei auf F definierte Maße $ [mm] \mu,\nu [/mm] $ auf C mit einander übereinstimmen und eine Folge $ [mm] (\Omega_n)_{n\in\IN} [/mm] $ in C existiert mit $ [mm] \Omega_n\uparrow\Omega [/mm] $ und $ [mm] \mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty [/mm] $ für jedes $ [mm] n\in\IN, [/mm] $ so gilt $ [mm] \mu=\nu [/mm] $ auf F.

Danach steht als Korollar quasi (*):

Falls zwei endliche Maße [mm] \mu,\nu [/mm] mit [mm] \mu(\Omega)=\nu(\Omega) [/mm] auf einem durchschnittstabilen Erzeugendensystem mit einander übereinstimmen, so sind sie schon gleich.

Die "Übergänge" machen mir noch ein bisschen Probleme.

> > Das heißt doch aber noch lange nicht, dass das Maß
> > endlich ist.  
> So ist es. Endliche Maße sind Sigma-endlich, aber
> Sigma-endliche Maße müssen nicht endlich sein.

Sei [mm] \mu [/mm] ein endliches Maß über einer Sigma-Algebra F. Zu zeigen: [mm] \mu [/mm] ist sigma-endlich. Sei [mm] \Omega_n:=\Omega [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Dann gilt nach Voraussetzung [mm] \mu(\Omega)<\infty [/mm] und somit [mm] \mu(\Omega_n)=\mu(\Omega)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\bigcup_{n\in\IN}\Omega=\Omega. [/mm] Damit ist [mm] \mu [/mm] sigma-endlich.

> Um noch kurz zu deiner Ausgangsfrage zurückzukommen:
> Die allgemeinere Wikipedia-Version ist etwas aufwändiger
> zu beweisen.
> Das ist vermutlich der Grund, dass sich dein(e) Dozent(in)
> für die etwas speziellere Version eines
> Eindeutigkeitssatzes entschieden hat.

Also wir verwenden oben für den Grenzübergang die Voraussetzung [mm] \Omega_n\subseteq\Omega_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Wenn wir diese Voraussetzung streichen, d.h. es bleibt übrig, dass eine Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] in C existiert mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega, [/mm] dann wird es etwas aufwändiger? Nicht viel aufwändiger?


Danke nochmal!!!!!!!!!!

Bezug
                                                        
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Fr 09.10.2015
Autor: tobit09


> Zu zeigen: [mm]F'\supseteq F[/mm]. Nach Voraussetzung ist
> [mm]\mu_{|C}=\nu_{|C},[/mm] d.h. für alle [mm]A\in C[/mm] gilt
> [mm]\mu(A)=\nu(A).[/mm] Außerdem ist [mm]F'=\{A\in F:\mu(A)=\nu(A)\}[/mm]
> gegeben. C ist ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem
> von F, d.h. es gilt [mm]F=\sigma(C).[/mm] Weiterhin ist
> [mm]\sigma(C)\supseteq C[/mm], also insbesondere
> [mm]F=\sigma(C)\supseteq C[/mm]. Ist nun [mm]A'\in C[/mm], so folgt [mm]A'\in F[/mm].
> Nach Voraussetzung gilt [mm]\mu(A)=\nu(A)[/mm] für alle [mm]A\in C[/mm],
> also auch insbesondere für unser [mm]A'\in F[/mm] und somit ist
> [mm]A'\in F'[/mm].

Ja.


> Es war A' beliebig (aber fest) gewählt, also
> gilt [mm]F'\supseteq F[/mm].

A' war ein beliebig vorgegebenes Element von C, nicht von F!
Du hast also [mm] $F'\supseteq [/mm] C$ gezeigt, nicht [mm] $F'\supseteq [/mm] F$.


> Benötigt der obere Beweis überhaupt noch das Argument
> [mm]d(C)=\sigma(C)[/mm]?

Ohne dieses Argument wird es schwierig, [mm] $F'\supseteq [/mm] F$ zu zeigen.


> Du hast ja zunächst [mm]F'\supseteq C[/mm]
> begründet und dann [mm]d(C)\subseteq F'[/mm] gefolgert. Mit
> [mm]d(C)=\sigma(C)=F[/mm] folgt dann [mm]F'\supseteq F[/mm]. So scheint es
> auch der Beweis in meinem Skript zu machen.

Ja.


> > Gezeigt ist jetzt:
>  >  
> > (*)    Je zwei auf F definierte Maße [mm]\mu',\nu'[/mm], die auf [mm]C[/mm]
> > übereinstimmen und [mm]\mu'(\Omega)=\nu'(\Omega)<\infty[/mm]
> > erfüllen, stimmen bereits auf ganz [mm]F[/mm] überein.

Damit meinte ich: In der Situation, die durch die Voraussetzungen des Satzes gegeben ist, gilt (*).

Alternativ hätte ich auch als eigenständiges Lemma formulieren können:
Sei F eine Sigma-Algebra auf einer Menge [mm] $\Omega$. [/mm] Sei $C$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem von $F$. Dann gilt (*).


> Aber die anderen Voraussetzungen bleiben für den
> "allgemeinen Fall" erhalten, oder?

Der "allgemeine Fall" besteht in jedem Fall genau aus den Voraussetzungen des Satzes.


> - Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und C ein
> durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F

Das ist auf jeden Fall auch im "speziellen Fall" vorauszusetzen.


> > > Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen
> > > Maße [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] mit [mm]\mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n)[/mm] und
> > > [mm]\nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n)[/mm] für alle [mm]A\in F[/mm]. Nun wenden
> > > wir obige Aussage an und erhalten [mm]\mu_n=\nu_n[/mm] für alle
> > > [mm]n\in\IN.[/mm] Mit Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] folgt die Aussage.
>  
> > Umgekehrt: [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] setzen wir nun nicht mehr als
> > endlich voraus.
>  
> Am Anfang steht aber, dass wir für den allgemeinen Fall
> endlichen Maße betrachten. Ist das im Beweis ein
> Tippfehler?

Meinst du folgende Formulierung?

     "Für den allgemeinen Fall betrachten wir die endlichen Maße [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] mit [mm]\mu_n(A)=\mu(A\cap \Omega_n)[/mm] und [mm]\nu_n(A)=\nu(A\cap \Omega_n)[/mm] für alle [mm]A\in F[/mm]. "

Das ist kein Tippfehler.
Im allgemeinen Fall sind [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] nicht mehr notwendigerweise endlich.
Wir basteln uns nun aber hilfsweise (um den schon bewiesenen "speziellen Fall" anwenden zu können) aus den (möglicherweise nicht endlichen) Maßen [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] zwei endliche Maße [mm] $\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu_n$. [/mm]


> Wir betrachten also [mm]\mu':=\mu_n[/mm] und [mm]\nu':=\nu_n[/mm] und wollen
> (*) anwenden. Um (*) anzuwenden zeigen wir (später)
>  
> >  a) [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] stimmen auf C überein

>  >  b) [mm]\mu_n(\Omega)=\nu_n(\Omega)[/mm]
>  >  c) [mm]\nu_n(\Omega)<\infty[/mm].
>  
> Wegen (*) folgt dann [mm]\mu'_{|F}=\nu'_{|F}[/mm], also [mm]\mu'=\nu'.[/mm]

Ja.


> Das ist äquivalent zu [mm]\mu_n=\nu_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] (**).

Ich würde es so formulieren:
Wir haben nun (zu beliebig vorgegebenem [mm] $n\in\IN$) [/mm] die Eigenschaft [mm] $\mu_n=\nu_n$ [/mm] gezeigt.
Da [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig war, gilt also [mm] $\mu_n=\nu_n$ [/mm] für ALLE [mm] $n\in\IN$. [/mm]


> Wegen der Stetigkeit vom Maß und der Existenz einer Folge
> [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] folgt
> für alle [mm]A\in F[/mm]:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A\cap \Omega_n)=\mu(A\cap \lim_{n\to\infty}\Omega_n)=\mu(A\cap\Omega)=\mu(A),[/mm]
> denn mit [mm]\Omega_n\uparrow \Omega[/mm] folgt auch
> [mm]A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega [/mm]. Analog gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(A)[/mm] für alle [mm]A\in F[/mm].

[ok]


> Wegen
> (**) gilt für alle [mm]A\in F[/mm]:
> [mm]\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)=\lim_{n\to\infty}\nu_n(A)=\nu(A) [/mm],
> also [mm]\mu_{|F}=\nu_{|F},[/mm] also [mm]\mu=\nu.[/mm]

[ok]


> Zu zeigen: [mm]\Omega_n\uparrow\Omega\Rightarrow A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega[/mm].
>  
> Sei [mm]\Omega_n\uparrow\Omega,[/mm] d.h.
> [mm]\Omega_{n}\subseteq\Omega_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und es
> existiert eine Folge [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega.[/mm]

Streiche die Wörter "existiert eine Folge [mm] $(\Omega_n)$ [/mm] in C mit" aus deiner Formulierung; dann passt es:
Wir arbeiten die ganze Zeit mit einer festen Folge [mm] $(\Omega_n)_{n\in\IN}$. [/mm]
Diese genügt u.a. der Eigenschaft [mm] $\Omega_n\uparrow \Omega$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und wir wollen für DIESE Folge [mm] $(\Omega_n)_{n\in\IN}$ [/mm] zeigen, dass sie auch der Bedingung [mm] $A\cap\Omega_n\uparrow A\cap\Omega$ [/mm] genügt.


>  Also zu zeigen: 1) [mm]A\cap\Omega_n\subseteq A\cap\Omega_{n+1}[/mm]

für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]

> und 2) Es existiert eine Folge [mm](\Omega_n)[/mm] in C mit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n)=A\cap\Omega.[/mm]

Zu zeigen ist nicht die Existenz irgendeiner solchen Folge [mm] $(\Omega_n)$, [/mm] sondern wir wollen zeigen, dass unsere vorgegebene Folge [mm] $(\Omega_n)$ [/mm] der Eigenschaft [mm] $\bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n)=A\cap\Omega$ [/mm] genügt.


>  Zu 1) Nach Voraussetzung ist
> [mm]\Omega_{n}\subseteq\Omega_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Wie
> folgere ich nun [mm]A\cap\Omega_n\subseteq A\cap\Omega_{n+1}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN?[/mm]

Wenn du es ganz detailliert machen möchtest:


Sei [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Zu zeigen: [mm] $A\cap\Omega_n\subseteq A\cap\Omega_{n+1}$. [/mm]

Sei also [mm] $\omega\in A\cap\Omega_n$. [/mm]
Zu zeigen: [mm] $\omega\in A\cap\Omega_{n+1}$, [/mm] d.h.
i) [mm] $\omega\in [/mm] A$ und
ii) [mm] $\omega\in\Omega_{n+1}$. [/mm]

Wegen [mm] $\omega\in A\cap\Omega_n$ [/mm] gilt [mm] $\omega\in [/mm] A$ (womit (i) gezeigt wäre) und [mm] $\omega\in\Omega_n$. [/mm]
Wegen [mm] $\Omega_n\subseteq\Omega_{n+1}$ [/mm] folgt [mm] $\omega\in \Omega_{n+1}$ [/mm] (womit (ii) gezeigt wäre).


Du darfst aber durchaus sicherlich Dinge wie

       [mm] $A\subseteq [/mm] A', [mm] B\subseteq [/mm] B'$     [mm] $\Rightarrow$ $A\cap B\subseteq A'\cap [/mm] B'$

für Mengen $A,A',B,B'$ als "bekannt" (oder "verhältnismäßig elementar zu beweisen") voraussetzen.


>  Zu 2) Nach Voraussetzung existiert eine Folge [mm](\Omega_n)[/mm]
> in C mit [mm]\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega.[/mm] Es folgt
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n)=A\cap\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=A\cap\Omega.[/mm]

[ok]


> > Das Prüfen von a), b) und c) überlasse ich dir.
>  
> Hier habe ich lange probiert, aber nichts hinbekommen. Wie
> geht das?

Hier noch einmal a), b) und c):

> >  a) [mm]\mu_n[/mm] und [mm]\nu_n[/mm] stimmen auf C überein

>  >  b) [mm]\mu_n(\Omega)=\nu_n(\Omega)[/mm]
>  >  c) [mm]\nu_n(\Omega)<\infty[/mm].

Zu a):

Zu zeigen ist [mm] $\mu_n(A)=\nu_n(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] C$.

Sei also [mm] $A\in [/mm] C$.
Zu zeigen ist [mm] $\mu_n(A)=\nu_n(A)$. [/mm]

Zu zeigen ist nach Definition von [mm] $\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu_n$ [/mm] somit [mm] $\mu(A\cap\Omega_n)=\nu(A\cap\Omega_n)$. [/mm]

Da [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auf C übereinstimmen, genügt es dafür, [mm] $A\cap\Omega_n\in [/mm] C$ zu zeigen.
[mm] $A\cap\Omega_n\in [/mm] C$ folgt jedoch aus [mm] $A\in [/mm] C$, [mm] $\Omega_n\in [/mm] C$ und der Durchschnittsstabilität von C.


Zu b):

Es gilt [mm] $\mu_n(\Omega)=\mu(\Omega\cap\Omega_n)=\mu(\Omega_n)$ [/mm] und analog [mm] $\nu_n(\Omega)=\nu(\Omega_n)$. [/mm]

Wegen [mm] $\Omega_n\in [/mm] C$ und der Übereinstimmung von [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auf $C$ folgt somit b).


Zu c):

Wie bereits unter b) überlegt gilt [mm] $\nu_n(\Omega)=\nu(\Omega_n)$. [/mm]
Also [mm] $\nu_n(\Omega)=\nu(\Omega_n)<\infty$. [/mm]



> Also wir haben folgenden Satz (Caratheodory):
>  
> Es sei [mm]\mu_0[/mm] ein sigma-endliches Prämaß auf einer Algebra
> A. Dann gibt es genau ein Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\sigma(A),[/mm] das [mm]\mu_0[/mm]
> erweitert.

OK, dann ist bei euch in dieser Formulierung Existenz und Eindeutigkeit von fortsetzenden Maßen enthalten und nicht nur die Existenz.


> Mit meinen Worten: Sei [mm]\mu_0:A\to[0,\infty][/mm] ein
> sigma-endliches Prämaß.

auf einer Algebra A.


> Dann gibt es genau Maß
> [mm]\mu:\sigma(A)\to[0,\infty][/mm] mit [mm]\mu_0_{|A}=\mu_{|A}.[/mm]

[mm] ($\mu_0_{|A}$ [/mm] ist eine komplizierte Schreibweise für [mm] $\mu_0$.) [/mm]


> Dadrunter steht, dass wir den Existenzteil nicht beweisen,
> sondern im Bauer nachlesen können. Die Eindeutigkeit soll
> direkt aus dem "Eindeutigkeitssatz" folgen:
>  
> Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und C ein
> durchschnittstabiles Erzeugendensystem von F. Falls zwei
> auf F definierte Maße [mm]\mu,\nu[/mm] auf C mit einander
> übereinstimmen und eine Folge [mm](\Omega_n)_{n\in\IN}[/mm] in C
> existiert mit [mm]\Omega_n\uparrow\Omega[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)=\nu(\Omega_n)<\infty[/mm] für jedes [mm]n\in\IN,[/mm] so
> gilt [mm]\mu=\nu[/mm] auf F.

Wir wenden den Eindeutigkeitssatz auf [mm] $F:=\sigma(A)$ [/mm] und $C:=A$ an.

Da A eine Algebra ist, ist C=A durchschnittsstabil.
Natürlich ist $C=A$ ein Erzeugendensystem von [mm] $F=\sigma(A)$. [/mm]
Wegen der Sigma-Endlichkeit von [mm] $\mu_0$ [/mm] existiert eine Folge [mm] $(\Omega_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Mengen [mm] $\Omega_n\in [/mm] A$ mit [mm] $\Omega_n\uparrow\Omega$ [/mm] und [mm] $\mu_0(\Omega_n)<\infty$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]

Seien nun zwei Maße [mm] $\mu,\nu$ [/mm] Fortsetzungen von [mm] $\mu_0$ [/mm] auf [mm] $F=\sigma(A)$. [/mm]
Dann gilt [mm] $\mu(\Omega_n)=\underbrace{\mu_0(\Omega_n)}_{<\infty}=\nu(\Omega_n)$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Somit liefert der Eindeutigkeitssatz [mm] $\mu=\nu$. [/mm]


> Danach steht als Korollar quasi (*):
>  
> Falls zwei endliche Maße [mm]\mu,\nu[/mm] mit
> [mm]\mu(\Omega)=\nu(\Omega)[/mm] auf einem durchschnittstabilen
> Erzeugendensystem mit einander übereinstimmen, so sind sie
> schon gleich.
>  
> Die "Übergänge" machen mir noch ein bisschen Probleme.

Beweisskizze für das Korollar:

Seien [mm] $\mu,\nu$ [/mm] endliche Maße auf einer Sigma-Algebra $F$ auf einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] mit [mm] $\mu(\Omega)=\nu(\Omega)$, [/mm] die auf einem Erzeugendensystem $D$ von $F$ übereinstimmen.
Zu zeigen ist [mm] $\mu=\nu$. [/mm]

Betrachte [mm] $C:=D\cup\{\Omega\}$ [/mm] und [mm] $\Omega_n:=\Omega$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Prüfe nun die Voraussetzungen des Eindeutigkeitssatzes nach.
Dieser liefert dann wie gewünscht [mm] $\mu=\nu$. [/mm]


> > Endliche Maße sind Sigma-endlich, aber
> > Sigma-endliche Maße müssen nicht endlich sein.
>  
> Sei [mm]\mu[/mm] ein endliches Maß über einer Sigma-Algebra F. Zu
> zeigen: [mm]\mu[/mm] ist sigma-endlich. Sei [mm]\Omega_n:=\Omega[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN.[/mm] Dann gilt nach Voraussetzung
> [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] und somit
> [mm]\mu(\Omega_n)=\mu(\Omega)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\bigcup_{n\in\IN}\Omega=\Omega.[/mm]
> Damit ist [mm]\mu[/mm] sigma-endlich.

[ok]


> > Um noch kurz zu deiner Ausgangsfrage zurückzukommen:
>  > Die allgemeinere Wikipedia-Version ist etwas

> aufwändiger
> > zu beweisen.
>  > Das ist vermutlich der Grund, dass sich dein(e)

> Dozent(in)
> > für die etwas speziellere Version eines
> > Eindeutigkeitssatzes entschieden hat.
>
> Also wir verwenden oben für den Grenzübergang die
> Voraussetzung [mm]\Omega_n\subseteq\Omega_{n+1}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN.[/mm] Wenn wir diese Voraussetzung streichen, d.h. es
> bleibt übrig, dass eine Folge [mm](\Omega_n)[/mm] in C existiert
> mit [mm]\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n=\Omega,[/mm] dann wird es etwas
> aufwändiger? Nicht viel aufwändiger?

Den Spezialfall endlicher Maße kann man immer noch genauso beweisen.

Damit erhält man wie vorher [mm] $\mu_n=\nu_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] wobei [mm] $\mu_n$ [/mm] und [mm] $\nu_n$ [/mm] immer noch wie vorher definiert seien.

Seien nun

     [mm] $\Omega_1':=\Omega_1$, [/mm]
     [mm] $\Omega_2':=\Omega_2\setminus\Omega_1$, [/mm]
     [mm] $\Omega_3':=\Omega_3\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2)$, [/mm]
     [mm] $\Omega_4':=\Omega_4\setminus(\Omega_1\cup\Omega_2\cup\Omega_3)$, [/mm]
     usw.

Dann ist [mm] $\Omega_n'\in [/mm] F$ und [mm] $\Omega_n'\subseteq\Omega_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\Omega$ [/mm] ist disjunkte Vereinigung der [mm] $\Omega_n'$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$. [/mm]

Für alle [mm] $A\in [/mm] F$ ist somit $A$ die disjunkte Vereinigung der Mengen [mm] $A\cap\Omega_n'$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$. [/mm]

Es folgt

      [mm] $\mu(A)=\mu(\bigcup_{n\in\IN}(A\cap\Omega_n'))=\sum_{n\in\IN}\mu(A\cap\Omega_n')=\sum_{n\in\IN}\mu(A\cap(\Omega_n'\cap\Omega_n))=\sum_{n\in\IN}\mu((A\cap\Omega_n')\cap\Omega_n)=\sum_{n\in\IN}\mu_n(A\cap\Omega_n')$ [/mm]

und analog

       [mm] $\nu(A)=\sum_{n\in\IN}\nu_n(A\cap\Omega_n')$. [/mm]

Wegen [mm] $\mu_n=\nu_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] folgt somit wie gewünscht [mm] $\mu(A)=\nu(A)$. [/mm]


Ich empfinde diese Argumentation nicht als viel aufwändiger (möglicherweise sähe ich das anders, wenn ich mir jedes Detail haarklein überlegt hätte), aber das ist natürlich Ansichtssache.

Bezug
                                                                
Bezug
Eindeutigkeitssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:37 Di 13.10.2015
Autor: James90

Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!!!!!

Deine Erklärungen sind GENIAL!

D A N K E !!

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