Eindeutigkeitssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
bei folgender Aufgabe bräuchte ich Hilfe, da sie meiner meinung nach klausurrelevant ist:
Man zeige, dass für die Differentialgleichung [mm] $$y'=2*\sqrt{|y|}$$
[/mm]
der Eindeutigkeitssatz nicht gilt und bestimme alle Lösungen [mm] $\varphi: [/mm] IR [mm] \to [/mm] IR$ der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung [mm] $\varphi(0)=0$
[/mm]
Schonmal vielen DAnk für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du für die gegebenen Anfangsbed. sofort die 3 Lösungen 1. y=0, 2. [mm] y=x^2 [/mm] 3. [mm] y=-x^2 [/mm] hast brauchst du nix mehr beweisen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur kurz um sicher zu gehen, das sind nicht alle Lösungen mit y(0)=0 es gibt unendlich viele.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Tonka |
| Aufgabe | Da du für die gegebenen Anfangsbed. sofort die 3 Lösungen 1. y=0, 2. 3. hast brauchst du nix mehr beweisen.
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Hallo,
bist du dir sicher, dass damit die Sache schon erledigt ist? Der Eindeutigkeitssatz sagt aus, dass es bei einer stetigen Funktion eine eindeutige Lösung gibt. Müsste man hier nicht zeigen, dass die Funktion stetig ist, es aber trotzdem keine eindeutige Lösung gibt? Bin mir leider nicht so sicher, was meinst du? Liebe Grüße, Tonka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sieh dir genau! die Vorraussetzungen für den Eindeutigkeitssatz an, sieh ob sie nur hinreichend, oder auch notwendig sind. Dann kannst du vielleicht zeigen, dass eine notwendige Bedingung nicht erfüllt ist. ich hab den Beweis nicht im Kopf, aber Stetigkeit ist sicher nicht hinreichend!
2. dass er nicht gilt kann man immer direkt zeigen, wenn man eben eine nicht eindeutige Lösung hat.
dazu solltest du ihn so zitieren wie ihr ihn aufgeschrieben habt.
3. es gibt nicht nur die 3 von mir angegebenen Lösungen zu den gegebenen Anfangsbedingungen, sondern unendlich viele. findest du die?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Tonka |
Hallo,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich bin leider ziemlich schlecht, was das Beweisen angeht. Ich komme nicht auf die anderen Lösungen, wenn ich es mit Trennen der Variablen mache, kommt x² bzw. -x² raus, aber das hatten wir ja schon. Ich kann jezt nur noch raten, dass es irgendetwas mit einer Konstanten zu tun hat.
Grüsse, Tonka
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Hi,
noch ein kleiner tip zusätzlich von mir:
für die eindeutigkeit von lösungen von GDGs reicht die stetigkeit der funktion f, (y'=f(y)), nicht aus! sie muss lipschitz-stetig sein (->siehe picard-lindelöf) und das ist für deine funktion nicht erfüllt, da die wurzel-fkt nicht L-stetig ist.
VG
matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
de Menge aller Lösungen sind f(x)=0 für [mm] |x|\lea [/mm] und [mm] f(x)=(x-a)^2 [/mm] für x>a dasselbe nochmal mit [mm] f(x)=-(x-a)^2
[/mm]
[mm] a\in \IR
[/mm]
Gruss leduart
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