Eine Aufgabe am Quadrat im R² < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Und wieder einmal steh ich total aufm Schlauch:
Gegeben ist das Quadrat P1P3P2P4 in der XY-Ebene.
P1 ist (7/3;0) und P2 (-1;-6). Wichtig ist die Reihenfolge den Punkte, also P1 und P2 liegen nicht nebeneinander. Nun soll man die anderen Punkte berechnen und ich weiß absolut nicht wie ich das anstellen soll. Hab schon den Mittelpunkt des Quadrats: M(2/3;-3).
Es muss da doch irgendeinen Trick geben, wie man ganz einfach z.B. von der Strecke MP1 (also vom Mittelpunkt zu P1) z.B. auf P4 schließen kann, zumindest laut "Starkheft", kann das aber absolut nicht nachvollziehen.
Letztendlich müsste man vom vom Vektor der MP1 den Vektor bilden der auf diesen senkrecht steht, die Frage ist nur wie.
Wäre echt nett, wenn da mal jemand aushelfen könnte! Danke schonmal.
Gruß Philipp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Und wieder einmal steh ich total aufm Schlauch:
> Gegeben ist das Quadrat P1P3P2P4 in der XY-Ebene.
> P1 ist (7/3;0) und P2 (-1;-6). Wichtig ist die Reihenfolge
> den Punkte, also P1 und P2 liegen nicht nebeneinander. Nun
> soll man die anderen Punkte berechnen und ich weiß absolut
> nicht wie ich das anstellen soll. Hab schon den Mittelpunkt
> des Quadrats: M(2/3;-3).
Kann das sein, dass du dich hier irgendwie verrechnet hast? Die y-Koordinate müsste stimmen, aber für die x-Koordinate berechnet man doch: [mm] (\bruch{7}{3}+1)/2=\bruch{5}{3}. [/mm] Ich glaube, du hast das Minus bei [mm] P_2 [/mm] vergessen, kann das sein?
> Es muss da doch irgendeinen Trick geben, wie man ganz
> einfach z.B. von der Strecke MP1 (also vom Mittelpunkt zu
> P1) z.B. auf P4 schließen kann, zumindest laut "Starkheft",
> kann das aber absolut nicht nachvollziehen.
> Letztendlich müsste man vom vom Vektor der MP1 den Vektor
> bilden der auf diesen senkrecht steht, die Frage ist nur
> wie.
Kann sein, dass es auch anders geht, aber deine Idee ist schon sehr gut. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Entweder rechnest du mit dem Skalarprodukt, dann weißt du, dass das Skalarprodukt =0 ist, wenn zwei Vektoren senkrecht stehen (weiß aber gar nicht, ob man so hier wirklich weiter kommt) oder du weißt aus der Analysis, dass die Steigung einer "Normalen" genau [mm] -\bruch{1}{\mbox{Steigung der Funktion}} [/mm] ist. Das heißt, du berechnest jetzt die "Steigung" deiner Diagonalen (also den Vektor von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2), [/mm] teilst dann eins durch diesen Wert und setzt noch ein Minus davor. Dann hast du die Steigung der anderen Diagonalen. Und von der anderen kennst du natürlich auch den Mittelpunkt und kannst so auf die beiden Eckpunkte schließen.
Ich glaube, so kommst hin, oder habe ich etwas vergessen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Boah sone schnelle Antwort ^^ Danke!!
Jetzt nur noch eins:
Also ich habe jetzt den Vektor P1P2:
(-10/3;-6). Will ich nun den Normalenvektor dazu muss je -1 durch die X-Koordinate und die Y-Koordinate teilen und hab das Ergebnis, also ist dieser Normalenvektor:
(3/10;1/6) korrekt?
Übriegns hattest du vollkommen Recht mit dem Mittelpunkt! Die im Starkheft hatten es verdaddelt ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Sorry, wollte das hier jetzt per Editierung in meinen Post einfügen, doch da kam immer ein Serverfehler!
Wollte nochmal fragen ob ich das für P4 jetzt richtig gemacht habe:
OM+den neuen Richtungsvektor=OP4
Also: (5/3;-3) + (3/10;1/6) = (1/29/30;-2/5/6)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Philka,
> Sorry, wollte das hier jetzt per Editierung in meinen Post
> einfügen, doch da kam immer ein Serverfehler!
> Wollte nochmal fragen ob ich das für P4 jetzt richtig
> gemacht habe:
> OM+den neuen Richtungsvektor=OP4
> Also: (5/3;-3) + (3/10;1/6) = (1/29/30;-2/5/6)
Es sind leider noch einige Fehler drin:
Du hast die Punkte: P1 ist (7/3;0) und P2 (-1;-6),
also ist die x-Koordinate des Mittelpunktes
$ x= [mm] \bruch{1}{2}\ (\bruch{7}{3} [/mm] + (-1)) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $.
Du hattest mit deinem ersten Ergebnis recht.
Den Fehler beim Normalenvektor hat dir Roadrunner ja schon genannt.
Das Hauptproblem ist aber, dass du nicht einfach den Normalenvektor addieren darfst. Du bekommst dann eine Raute, die aber nicht unbedingt ein Quadrat ist. Der Vektor, den du addierst, muss dieselbe Länge haben wie der Vektor $ [mm] \vec{MP_1} [/mm] $.
Es gilt ja: In einem Quadrat sind die Diagonalen gleich lang und halbieren sich.
Du musst deinen Normalenvektor also noch in der Länge anpassen. Wenn du diesen Vektor dann einmal zum Ortsvektor des Mittelpunktes addierst und einmal subtrahierst, erhälst du die beiden übrigen Punkte.
Ein anderer möglicher Lösungsansatz ergibt sich aus folgenden Bedingungen:
Die Seite $ [mm] \overline{P_1P_4} [/mm] $ steht senkrecht auf $ [mm] \overline{P_2P_4} [/mm] $ und die Längen von $ [mm] \overline{P_1P_4} [/mm] $ und $ [mm] \overline{P_2P_4} [/mm] $ sind gleich.
Kommst du jetzt weiter? Sonst melde dich.
Gruß
Sigrid
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Hallo Philka!
Das Vorzeichen darfst Du aber nur bei einer der beiden Komponenten vertauschen.
Denn bei Deiner Lösung erhält man:
[mm] $\vektor{-\bruch{10}{3}\\-6}*\vektor{+\bruch{3}{10}\\+\bruch{1}{6}} [/mm] \ = \ [mm] \left(-\bruch{10}{3}\right)*\left(+\bruch{3}{10}\right)+(-6)*\left(+\bruch{1}{6}\right) [/mm] \ = \ (-1)+(-1) \ = \ -1-1 \ = \ -2 \ \ [mm] \red{\not= \ 0}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Ahhh nur ein Vorzeichen!
Ist also auch egal bei welcher Komponente oder?
Ist der Weg für OP4 jetzt richtig?:
OM+neuerRichtungsvektor=0P4
[mm] \vektor{ \bruch{5}{3} \\ -3} [/mm] + [mm] \vektor{ \bruch{-3}{10} \\ \bruch{1}{6}} [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{41}{30} \\ \bruch{-17}{6}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Ich kapier das echt absolut nicht :(
Hab das wohl irgendwie falsch gemacht, denn es kommt nicht das raus was in der Lösung steht.
Mein Problem ist einfach, woher man weiß wie man von z.B. [mm] \vektor{ \bruch{5}{3} \\ \bruch{3}{1}} [/mm] auf den Vektor kommt der dazu senkrecht ist und genauso lang. Also mit dem Skalarprodukt geht es jedenfalls nicht :(
Und mit dem was vorhin gesagt wurde, dass man einfach 1/jede Komponente des alten Vektors teilt und dann noch bei einem von beiden das Vorzeichen umdreht kann auch nicht sein, da kommen ja total verschiedene Sachen raus!
*Verzweiflung*
..übrigens hab ich nochmal den Mittelpunkt ausgerechnet, er ist tatsächlich (2/3;-3), also die im Buch hatten Recht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Philka,
> Ich kapier das echt absolut nicht :(
> Hab das wohl irgendwie falsch gemacht, denn es kommt nicht
> das raus was in der Lösung steht.
> Mein Problem ist einfach, woher man weiß wie man von z.B.
> [mm]\vektor{ \bruch{5}{3} \\ \bruch{3}{1}}[/mm] auf den Vektor
> kommt der dazu senkrecht ist und genauso lang. Also mit dem
> Skalarprodukt geht es jedenfalls nicht :(
> Und mit dem was vorhin gesagt wurde, dass man einfach
> 1/jede Komponente des alten Vektors teilt und dann noch bei
> einem von beiden das Vorzeichen umdreht kann auch nicht
> sein, da kommen ja total verschiedene Sachen raus!
Damit fängst du aber an. Ein Normalenvektor zu
[mm]\vektor{ \bruch{5}{3} \\ \bruch{3}{1}}[/mm] ist [mm]\vektor{ \bruch{-3}{5} \\ \bruch{1}{3}}[/mm]
Jetzt berechnest du die Längen:
Die Länge des Vektors [mm]\vektor{ \bruch{5}{3} \\ \bruch{3}{1}}[/mm] ist [mm] \bruch{1}{3} \cdot \wurzel{106} [/mm].
Die Länge des Normalenvektors [mm]\vektor{\bruch{-3}{5} \\ \bruch{1}{3}}[/mm] ist [mm] \bruch{1}{15} \cdot \wurzel{106} [/mm].
Also ist der erste Vektor 5-mal so lang wie der Normalenvektor. Wenn du also den Normalenvektor mit 5 multiplizierst, sind beide gleich lang. Die Eigenschaft des Normalenvektors bleibt ja, da sich die Richtung bei der Multiplikation mit 5 nicht ändert.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Gruß
Sigrid
> *Verzweiflung*
Nicht doch!
>
> ..übrigens hab ich nochmal den Mittelpunkt ausgerechnet, er
> ist tatsächlich (2/3;-3), also die im Buch hatten Recht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Danke für die Hilfe, jetzt weiß ich endlich wie ich weiter vorgehe, wenn ich den Normalenvektor habe!
Es wäre allerdings super, wenn du/ihr mir eine Faustregel sagen könntet, wie man zu einem Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] den Normalenvektor bildet. Muss doch da irgendeinen "Trick" geben oder? Mit Skalarprodukt geht es ja nicht an dieser Stelle... danke schonmal!
Gruß Philka
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Hallo Philka!
Warum soll das hier mit dem  Skalarprodukt nicht klappen?
Aber im [mm] $\IR^2$ [/mm] kannst Du Dir als Normalenvektor zu [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] einen der beiden folgenden Vektoren merken:
[mm] [quote]$\vektor{-\bruch{1}{x}\\ \bruch{1}{y}}$ [/mm] oder [mm] $\vektor{\bruch{1}{x}\\-\bruch{1}{y}}$[/quote]
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 15.05.2006 | | Autor: | philka |
Vielen Dank, genau sowas wollte ich!
Und wegen dem Skalarprodukt:
[mm] \vektor{x1 \\ y2} \* \vektor{x \\ y}
[/mm]
Wenn aber nur der erste Vektor gegeben ist und mehr nicht steht doch dann:
X1 * x + Y2 * Y = 0
somit hat man dann zwei Unbekannte und nur eine Gleichung... wenn es denn wirklich geht, wäre es noch super wenn du mich aufklärst, ihre mich mit Sicherheit eh nur!
MfG
Philka
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Guten Morgen philka!
Zum ersten musst Du dich von dem Gedanken trennen, dass es einen Normalenvektor gibt. Es gibt hier stets unendlich viele, die sich durch einen Faktor unterscheiden.
> Wenn aber nur der erste Vektor gegeben ist und mehr nicht
> steht doch dann:
>
> X1 * x + Y2 * Y = 0
Du kannst aber diese Gleichung nach eine der beiden Unbakennten umstellen, z.B.:
$y \ = \ [mm] -\bruch{X_1}{Y_2}*x$
[/mm]
Und nun wählst Du Dir ein beliebiges $x_$ (wenn möglich derart, dass der Bruch verschwindet) und erhältst daraus nun den Wert für $y_$ .
Zum Beispiel kann man hier allgemein wählen: $x \ := \ [mm] Y_2$ [/mm] .
Dann wird daraus: $y \ = \ [mm] -\bruch{X_1}{Y_2}*Y_2 [/mm] \ = \ [mm] -X_1$
[/mm]
Ein weiterer Normalenvektor zu [mm] $\vektor{X_1\\Y_2}$ [/mm] lautet also auch [mm] $\vektor{Y_2\\-X_1}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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