Eine Reihe ausrechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 24.02.2011 | | Autor: | Georgi |
| Aufgabe | | z.z. [mm] 8*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k(k+1)^2(k+2)}-1=\bruch{2}{3}\pi^2-7 [/mm] |
Wie kann ich diese Reihe ausrechnen? Mir ist nur eine Reihe bekannt, die ein Ergebnis mit [mm] \pi [/mm] hat, nähmlich die Leibnizreihe mit x=1, jedoch die ist ja gleich [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm] Ich habe versucht irgendwie diese Reihe auf eine Funktion in Abhängigkeit von der Leibnizreihe hinzuführen, aber erfolglos. Hat diese Reihe überhaupt etwas mit der Leibnizreihe zu tun?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh es nicht direkt, aber wie bei der Leibnitzreihe muss man halt wohl ne Taylorreihe bei x=1 benutzen, evt. ein Ableitung einer bekannten Taylorreihe oder ne höhere Ableitung. wegen der [mm] \pi^2 [/mm] vielleicht auch das Quadrat einer TR.
Gruss leduart
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Hallo Georgi,
> z.z.
> [mm]8*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k(k+1)^2(k+2)}-1=\bruch{2}{3}\pi^2-7[/mm]
> Wie kann ich diese Reihe ausrechnen? Mir ist nur eine
> Reihe bekannt, die ein Ergebnis mit [mm]\pi[/mm] hat, nähmlich die
> Leibnizreihe mit x=1, jedoch die ist ja gleich
> [mm]\bruch{\pi}{4}.[/mm] Ich habe versucht irgendwie diese Reihe auf
> eine Funktion in Abhängigkeit von der Leibnizreihe
> hinzuführen, aber erfolglos. Hat diese Reihe überhaupt
> etwas mit der Leibnizreihe zu tun?
Zerlege
[mm]\bruch{(-1)^{k+1}}{k(k+1)^2(k+2)}[/mm]
in eine Summe von Partialbrüchen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 24.02.2011 | | Autor: | Georgi |
Vielen Dank für die Tipps.
Nach der Partialbruchzerlegung bekomme ich:
[mm] 8[\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{2k}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{6(k+1)}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{2}{3(k+1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{5}{6(k+2)}-1]
[/mm]
Dies ist gleich:
[mm] 4ln2-\bruch{4}{3}x-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{16}{3(k+1)^2}-\bruch{10}{3}x^2-1, [/mm] wobei x=1 ist.
Wie entwickele ich aber den 3. Summanden?
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Hallo Georgi,
> Vielen Dank für die Tipps.
> Nach der Partialbruchzerlegung bekomme ich:
>
> [mm]8[\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{2k}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{6(k+1)}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{2}{3(k+1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{5}{6(k+2)}-1][/mm]
> Dies ist gleich:
Nach der Partialbruchzerlegung ergibt sich doch:
[mm]\bruch{a_{k}}{k}+\bruch{b_{k}}{\left(k+1\right)^{2}}+\bruch{c_{k}}{k+2}[/mm]
>
> [mm]4ln2-\bruch{4}{3}x-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{16}{3(k+1)^2}-\bruch{10}{3}x^2-1,[/mm]
> wobei x=1 ist.
> Wie entwickele ich aber den 3. Summanden?
Für den 3. Summanden muß es auch eine geschlossene Formel geben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Georgi |
Danke!
zu: "Nach der Partialbruchzerlegung ergibt sich doch:
$ [mm] \bruch{a_{k}}{k}+\bruch{b_{k}}{\left(k+1\right)^{2}}+\bruch{c_{k}}{k+2} [/mm] $"
Bei mir ergibt sich:
$ [mm] \bruch{a_{11}}{k}+\bruch{a_{21}}{\left(k+1\right)^{1}}+\bruch{a_{22}}{\left(k+1\right)^{2}}+\bruch{a_{31}}{k+2} [/mm] $ mit
[mm] a_{11}=1/2
[/mm]
[mm] a_{21}=-1/6
[/mm]
[mm] a_{22}=-2/3
[/mm]
[mm] a_{31}=-5/6, [/mm] falls man [mm] \bruch{1}{k(k+1)^2(k+2)} [/mm] zerlegt und
Koeffizienten mit jeweils anderem Vorzeichen, falls man [mm] \bruch{-1}{k(k+1)^2(k+2)} [/mm] zerlegt.
Wenn ich nun dieses Ergebnis in die linke Seite der zu zeigenden Gleichung einsetze, bekomme ich genau das:
$ [mm] 8[\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{2k}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{6(k+1)}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{2}{3(k+1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{5}{6(k+2)}-1] [/mm] $
Dann habe ich jede Summe mir einzeln angeschaut und mit den Taylorentwicklungen gerechnet , jedoch bei dem 3. Summanden habe ich ein Problem: im Nenner ist ein Quadrat, also kann ich nicht wie bei anderen Reihen mir einfach die Ableitung der Reihe anschauen. Eine Idee, wie ich da weiter komme?
zu: "Für den 3. Summanden muß es auch eine geschlossene Formel geben."
Was versteht man unter einer geschlossenen Formel? Wie komme ich denn auf sie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. versteh ich nicht warum du nicht immer wieder auf eine abwandlung der harmonischen reihe kommst, wo also etwa dein ln herkommt.
2.[mm]\integral{x^k dx}=\bruch{x^{k+1}}{k+1}
[/mm]
das sollte bei deiner summe helfen
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
> zu: "Nach der Partialbruchzerlegung ergibt sich doch:
>
> [mm]\bruch{a_{k}}{k}+\bruch{b_{k}}{\left(k+1\right)^{2}}+\bruch{c_{k}}{k+2} [/mm]"
>
> Bei mir ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{a_{11}}{k}+\bruch{a_{21}}{\left(k+1\right)^{1}}+\bruch{a_{22}}{\left(k+1\right)^{2}}+\bruch{a_{31}}{k+2}[/mm]
> mit
> [mm]a_{11}=1/2[/mm]
> [mm]a_{21}=-1/6[/mm]
> [mm]a_{22}=-2/3[/mm]
> [mm]a_{31}=-5/6,[/mm] falls man [mm]\bruch{1}{k(k+1)^2(k+2)}[/mm] zerlegt
> und
> Koeffizienten mit jeweils anderem Vorzeichen, falls man
> [mm]\bruch{-1}{k(k+1)^2(k+2)}[/mm] zerlegt.
> Wenn ich nun dieses Ergebnis in die linke Seite der zu
> zeigenden Gleichung einsetze, bekomme ich genau das:
>
> [mm]8[\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{2k}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{1}{6(k+1)}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{2}{3(k+1)^2}-\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\bruch{5}{6(k+2)}-1][/mm]
> Dann habe ich jede Summe mir einzeln angeschaut und mit den
> Taylorentwicklungen gerechnet , jedoch bei dem 3. Summanden
> habe ich ein Problem: im Nenner ist ein Quadrat, also kann
> ich nicht wie bei anderen Reihen mir einfach die Ableitung
> der Reihe anschauen. Eine Idee, wie ich da weiter komme?
>
>
> zu: "Für den 3. Summanden muß es auch eine geschlossene
> Formel geben."
>
> Was versteht man unter einer geschlossenen Formel? Wie
> komme ich denn auf sie?
Es gilt: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k^2}= \bruch{\pi^2}{12}
[/mm]
Vielleicht darfst Du das verwenden, selber draufkommen wird von Dir nicht verlangt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Georgi |
zu leduart:
genau das habe ich auch versucht, aber wegen [mm] (k+1)^2 [/mm] im Nenner komme ich nicht weiter. Sonst wäre es ja einfach:
[mm] \bruch{d}{dx}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^kx^{k+2}}{k+2}=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^kx^{k+1}=\bruch{x}{1+x} [/mm] und [mm] \integral{\bruch{x}{1+x} dx}=...=x [/mm] und für x=1 ist
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+2}x^{k+2}}{k+2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}x^{k+1}}{k+1}=1, [/mm]
nun hat aber der 3. Summand im Unterschied zu dem 2. Summanden [mm] (k+1)^2 [/mm] im Nenner, sodass ich gleich nicht vorgehen kann.
zu fred97:
"Vielleicht darfst Du das verwenden, selber draufkommen wird von Dir nicht verlangt."
Ich möchte auf jeden Fall auch diesen Schritt kennen. Falls Du meinst, ich komme von alleine nicht selbst drauf, vielleicht könnte man mir ein Buch oder eine Internetquelle zum Beweis empfehlen. Wird dieser Schritt zu den [mm] \bruch{\pi^2}{12} [/mm] nicht über Taylorentwicklung gelöst? Wenn doch, dann welche Reihe wird abgeleitet?
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Hallo Georgi,
> zu leduart:
> genau das habe ich auch versucht, aber wegen [mm](k+1)^2[/mm] im
> Nenner komme ich nicht weiter. Sonst wäre es ja einfach:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^kx^{k+2}}{k+2}=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^kx^{k+1}=\bruch{x}{1+x}[/mm]
> und [mm]\integral{\bruch{x}{1+x} dx}=...=x[/mm] und für x=1 ist
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+2}x^{k+2}}{k+2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}x^{k+1}}{k+1}=1,[/mm]
> nun hat aber der 3. Summand im Unterschied zu dem 2.
> Summanden [mm](k+1)^2[/mm] im Nenner, sodass ich gleich nicht
> vorgehen kann.
Eine simple Parametertransformation sollte hier helfen.
>
> zu fred97:
> "Vielleicht darfst Du das verwenden, selber draufkommen
> wird von Dir nicht verlangt."
>
> Ich möchte auf jeden Fall auch diesen Schritt kennen.
> Falls Du meinst, ich komme von alleine nicht selbst drauf,
> vielleicht könnte man mir ein Buch oder eine
> Internetquelle zum Beweis empfehlen. Wird dieser Schritt zu
> den [mm]\bruch{\pi^2}{12}[/mm] nicht über Taylorentwicklung
> gelöst? Wenn doch, dann welche Reihe wird abgeleitet?
>
Nein, die obige Summe ergibt sich, wenn Du den Parabelbogen
[mm]f\left\x\right)=\bruch{1}{\pi^{2}}*\left(x-\pi\right)^{2}[/mm]
im Intervall [mm]\left[0, \ 2\pi\right][/mm] als periodische Funktion betrachtest
in eine Fourierreihe entwickelst,
und die Fourierreihe an der Stelle x=0
betrachtest.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 10.03.2011 | | Autor: | Georgi |
| Aufgabe | | z.z. $ [mm] 8\cdot{}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k(k+1)^2(k+2)}-1=\bruch{2}{3}\pi^2-7 [/mm] $ |
Guten Abend!
Ich bin immer noch bei dieser Gleichung. Habe ein paar Fehler in meiner Rechnung entdeckt (Die Konstanten in der Partialbruchzerlegung sind nun: 1/2, 0, -1, -1/2). Trotzdem komme ich nocht nicht auf das richtige Ergebnis.
Vielleicht habe ich noch einen Fehler bei der Berechnung der Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{(k+2)}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(k+3)} [/mm] und für x=1:
[mm] \bruch {d}{dx}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}x^{k+3}}{(k+3)}=\bruch{x^2}{1+x}
[/mm]
Also suche ich:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{(k+2)}=\integral{\bruch{x^2}{1+x} dx}=x^2log(1+x)-2\integral{xlog(1+x)dx}
[/mm]
Nun möchte ich wieder partielle Integration durchführen, brauche dafür [mm] \integral{log(1+x)dx}
[/mm]
Frage: Stimmt das hier eigentlich:
[mm] \integral {log(1+x)dx}=\integral {1*log(1+x)dx}=(1+x)log(1+x)-\integral {\bruch{1+x}{1+x}dx}=(x+1)log(x+1)-x [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 12.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Partialbruchzerlegung stimmt. Es muss also der Ausdruck
[mm] 8\cdot\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{(k+1)^2}-\bruch{1}{2(k+2)}\right)-1 [/mm] berechnet werden.
Betrachtet man zuerst die Summe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{2(k+2)}\right) [/mm] entfallen viele Summanden wegen Gleichheit und es gilt
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{2(k+2)}\right)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Also bleibt noch
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{(k+1)^2} [/mm] zu berechnen.
mit dem Tipp von Fred ergibt sich
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{(k+1)^2}=1-\bruch{1}{12}\pi^2
[/mm]
Alles zusammengefasst ergibt
[mm] 8\cdot\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{(k+1)^2}-\bruch{1}{2(k+2)}\right)-1=8*\bruch{1}{4}-8*\left(1-\bruch{1}{12}\pi^2\right)-1=\bruch{2}{3}\pi^2-7
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 So 13.03.2011 | | Autor: | Georgi |
Vielen Dank!
Auf einem etwas anderen Weg bin ich vorgestern zum richtigen Ergebnis gekommen.
Deine einfache Lösung ist schön Ullim.
Mit der Herleitung von:
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{k^2}=\bruch{1}{12}\pi^2 [/mm] $
werde ich mich noch beschäftigen, aber erst in ein Paar Wochen.
Liebe Grüße an alle Helfer!
Georgi
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