Eine Untergruppe von S4 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Uberprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge U eine Untergruppe der gegebenen Gruppe G ist:
G = [mm] S_{4}, [/mm] U = { [mm] \pi \in [/mm] G | [mm] \pi [/mm] ist keine Transposition } |
Hi,
ich hab mir als erstes überlegt, welche Elemente aus [mm] S_{4} [/mm] keine Transpositionen sind:
U={(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),id}
Ist U leer?
Nein, da zB id [mm] \in [/mm] U
Ist U Abgeschlossen?
Wie mache ich das? Ich kann ja jetzt nicht alle möglichen Verknüpfungen aufschreiben...
Ist U assoziativ?
Ja, das bereits G assoziativ
Gibt es ein neutrales Element?
id [mm] \in [/mm] U ist neutrales Element, das für alle [mm] \pi \in [/mm] U gilt:
id [mm] \circ \pi [/mm] = pi
Gibt es ein inverses Element in U für alle [mm] \pi \in [/mm] u?
Auch hier: muss ich jetzt für alle [mm] \pi \in [/mm] U das Inverse auflisten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 21.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hi,
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> ich hab mir als erstes überlegt, welche Elemente aus [mm]S_{4}[/mm]
> keine Transpositionen sind:
>
> U={(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),id}
Hier fehlen Elemente: $(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$
Die [mm] $S_4$ [/mm] besteht aus $4!=24$ Elementen, so hast du dann alle 18 außer den sechs Transpositionen.
>
> Ist U leer?
> Nein, da zB id [mm]\in[/mm] U
>
> Ist U Abgeschlossen?
> Wie mache ich das? Ich kann ja jetzt nicht alle möglichen
> Verknüpfungen aufschreiben...
Berechne mal $(1234)(243)$, dann wirst du sehn, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, also keine Untergruppe, damit erledigt sich auch der ganze Rest.
Falls es dich interessiert: Man kann das auch abstrakter formulieren, über den Satz von Lagrange, der besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe (also die Anzahl der Elemente) bei einer endlichen Gruppe die Ordnung der Gruppe teilen muss. Hier sieht man direkt dass $|U|=18$ teilt nicht [mm] $|S_4|=24$, [/mm] also kann es sich nicht um eine Untergruppe handeln.
Viele Grüße, Lippel
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Hallo Lippel, danke für die shcnelle Antwort.
> Hier fehlen Elemente:
> [mm](1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)[/mm]
> Die [mm]S_4[/mm] besteht aus [mm]4!=24[/mm] Elementen, so hast du dann alle
> 18 außer den sechs Transpositionen.
>
Ich dachte, dass zB (12)(34) eine Transposition ist, quasi eine Permutation, die zwei Transpositionen gleichzeitig durchführt.
> >
> > Ist U leer?
> > Nein, da zB id [mm]\in[/mm] U
> >
> > Ist U Abgeschlossen?
> > Wie mache ich das? Ich kann ja jetzt nicht alle
> möglichen
> > Verknüpfungen aufschreiben...
>
> Berechne mal [mm](1234)(243)[/mm], dann wirst du sehn, dass die
> Menge nicht abgeschlossen ist, also keine Untergruppe,
> damit erledigt sich auch der ganze Rest.
OK, das vereinfacht die ganze Sache natürlich immens  .
>
> Falls es dich interessiert: Man kann das auch abstrakter
> formulieren, über den Satz von Lagrange, der besagt, dass
> die Ordnung einer Untergruppe (also die Anzahl der
> Elemente) bei einer endlichen Gruppe die Ordnung der Gruppe
> teilen muss. Hier sieht man direkt dass [mm]|U|=18[/mm] teilt nicht
> [mm]|S_4|=24[/mm], also kann es sich nicht um eine Untergruppe
> handeln.
>
> Viele Grüße, Lippel
Ja interessiert mich schon, leider haben wir das in der Vorlesung noch nicht gehabt. Aber danke für den Hinweis
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 21.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hallo Lippel, danke für die shcnelle Antwort.
>
> > Hier fehlen Elemente:
> > [mm](1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)[/mm]
> > Die [mm]S_4[/mm] besteht aus [mm]4!=24[/mm] Elementen, so hast du dann
> alle
> > 18 außer den sechs Transpositionen.
> >
> Ich dachte, dass zB (12)(34) eine Transposition ist, quasi
> eine Permutation, die zwei Transpositionen gleichzeitig
> durchführt.
Theoretisch kannst du jedes Element einer [mm] $S_n$ [/mm] in Transpositionen zerlegen, z.B. $(1234)=(12)(23)(24)$ und sogar $id=(12)(21)$, also müssen solche Verknüpfungen von Transpositionen, die man nicht als nur eine Transposition darstellen kann, schon in der Untergruppe liegen, sonst wäre sie nämlich leer.
Grüße, Lippel
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