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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:13 Mo 05.12.2011 | | Autor: | willy89 |
| Aufgabe | | Seien a,b [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigne Sie, dass [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[2]{a}, \wurzel[2]{b} [/mm] ) = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[2]{a} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{b} [/mm] ). |
Hallo,
die Inklusion [mm] "\subseteq" [/mm] ist ja einfach.
Aber kann mir vielleicht jemand bei der anderen Richtung helfen?
Grüße
willy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hippias |
Ich denke, ich wuerde mir die moeglichen Grade der Erweiterung ueberlegen und damit die fehlende Inklusion herleiten. Falls das nicht reicht, ist die Erweiterung [mm] $\IQ[\sqrt{a}, \sqrt{b}]$ [/mm] z.B. auch galois'sch mit ziemlich uebersichtlicher Galoisgruppe.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:03 Mo 05.12.2011 | | Autor: | willy89 |
Hallo,
Galoisgruppen hatten wir noch nicht (da arbeiten wir drauf hin).
Wenn ch den Grad der Erweiterung habe, was ist dann die Idee?
Tut mir leid - ich stehe total auf dem Schlauch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mo 05.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin willy!
> Seien a,b [mm]\in \IZ.[/mm] Zeigne Sie, dass [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[2]{a}, \wurzel[2]{b}[/mm]
> ) = [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[2]{a}[/mm] + [mm]\wurzel[2]{b}[/mm] ).
>
> die Inklusion [mm]"\subseteq"[/mm] ist ja einfach.
Ja :)
> Aber kann mir vielleicht jemand bei der anderen Richtung
> helfen?
Ist $a = b$, so ist das ganze sehr einfach. Also nehme $a [mm] \neq [/mm] b$ an.
Zeige zuerst: [mm] $\sqrt{ab}$ [/mm] ist in [mm] $\IQ(\sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b})$.
[/mm]
Dann zeigst du damit: $a [mm] \sqrt{b} [/mm] + b [mm] \sqrt{a}$ [/mm] ist in [mm] $\IQ(\sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b})$.
[/mm]
(Fuer beides musst du ein passendes Element quadrieren und dann mit Elementen aus [mm] $\IQ$ [/mm] modifizieren.)
Da ebenfalls $a [mm] (\sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b}) \in \IQ(\sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b})$ [/mm] ist, kannst du damit $(b - a) [mm] \sqrt{a} \in \IQ(\sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b})$ [/mm] zeigen.
LG Felix
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