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| Aufgabe | Sei S eine nicht-abelsche einfache Gruppe mit einer echten
Untergruppe H vom Index n. Beweisen Sie, die folgenden Aussagen:
(a) n >= 5;
(b) falls n = 5, dann ist S ∼= A5;
(c) falls n = 6, dann ist entweder (i) S ∼= A6 oder (ii) |S| <= 60.
(d) Im Falle (ii) ist S ∼= A5. |
Hallo liebe Community,
ich hoffe ich finde hier ein wenig Hilfe, da ich mit der Aufgabe hoffnungslos überfordert bin.
Ich habe bereits das Internet durchforstet und alle Definitionen etc nachgearbeitet, aber habe mit den Beweisen einfach meine Probleme.
Daher wäre ich dankbar, wenn mir jemand helfen kann, wie ich da ran gehe und sie mit mir durchgeht.
In der Aufgabenstellung: ~= damit ist das Zeichen gemeint, wo die ~ über dem = steht. Wenn ich es richtig verstanden haben, soll das isomorph bedeuten.
Ich weiß bereits, dass man als S die alternierende Gruppe A5 verwenden könnte, den Beweis das diese einfach ist habe ich bereits in einer vorherigen Aufgabe getan.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 27.10.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Du wirst diese Aufgaben groesstenteils dadurch loesen koennen, indem Du die Operation von $S$ auf den Nebenklassen - links oder rechts ist egal - von $H$ in $S$ betrachtest. Etwa wird die Nebenklassn $Hx$ durch ein [mm] $g\in [/mm] S$ auf $Hxg$ abgebildet.
Wie Du gelernt haben wirst, erhaelt man dadurch einen Homomorphismus von $S$ in die Gruppen der Permutationen der Nebenklassen; da es $n$ Nebenklassen sind, hat man also einen Homomorphismus von $S$ in die symmetrische Gruppe [mm] $S_{n}$.
[/mm]
Das solltest Du nachvollziehen bzw. beweisen koennen. Kannst Du das?
Als naechstes wuerde ich mir ueberlegen, dass besagter Homomorphismus injektiv ist. Das haette zur Folge, dass man $S$ als Untergruppe der [mm] $S_{n}$ [/mm] auffassen kann, sodass Du Dinge, die Du ueber die [mm] $S_{n}$ [/mm] weist, benutzen kannst, um etwas ueber $S$ herauszubekommen - und umgekehrt.
Fuer den Nachweis der Injektivitaet mein Tip: Weil $S$ einfach ist, kann sein Kern nur [mm] $=\ldots$ [/mm] oder [mm] $=\ldots$ [/mm] sein. Die spezielle Operation hat nun Eigenschaften, die einen der beiden Faelle ausschliessen.
Das sollte vorerst genuegen.
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Vielen Dank für die Antwort hippias! :)
Unser Professor hat eine ziemlich wirre Vorlesung, daher habe ich versucht mit Büchern und Skripten von anderen Unis zuzuarbeiten.
Doch jetzt merke ich das ich noch viel mehr nacharbeiten muss.
Also wir haben bei uns nur definiert was überhaupt eine Nebenklasse ist.
"Du wirst diese Aufgaben groesstenteils dadurch loesen koennen, indem Du die Operation von $ S $ auf den Nebenklassen - links oder rechts ist egal - von $ H $ in $ S $ betrachtest. Etwa wird die Nebenklassn $ Hx $ durch ein $ [mm] g\in [/mm] S $ auf $ Hxg $ abgebildet. "
Das ist mir soweit alles klar, zumindest haben wir die Nebenklassen ebenfalls so definiert, dass $ Hx $ -> $ Hxg $ abbildet.
"Wie Du gelernt haben wirst, erhaelt man dadurch einen Homomorphismus von $ S $ in die Gruppen der Permutationen der Nebenklassen; da es $ n $ Nebenklassen sind, hat man also einen Homomorphismus von $ S $ in die symmetrische Gruppe $ [mm] S_{n} [/mm] $. "
Verstehe ich das richtig, sobald ich eine LNK/RNK habe, ist dies ein Homomorphismus? Es tut mir leid, aber mir ist das nicht klar bzw ich könnte es definitiv nicht beweisen.
"Fuer den Nachweis der Injektivitaet mein Tip: Weil $ S $ einfach ist, kann sein Kern nur $ [mm] =\ldots [/mm] $ oder $ [mm] =\ldots [/mm] $ sein. Die spezielle Operation hat nun Eigenschaften, die einen der beiden Faelle ausschliessen. "
Das mit der Injektivität ist mir jedoch wieder klarer! :)
Da S einfach ist, gibt es keine echten Normalteiler, also nur {id} und S selbst als Normalteiler.
Ich habe morgen noch einmal mehrere Stunden frei zwischen den Vorlesungen und werde diese Zeit nutzen, um deine Begriffe alle nochmal nachzuschlagen und zu verstehen und so vllt auch deine Hinweise besser zu verstehen.
Ich werde mich dann gewiss noch mal melden :)
Ich wünsche dir noch einen schönen Abend! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mi 28.10.2015 | | Autor: | hippias |
Ja, das Vokabular muss man beherrschen, sonst verliert man schnell den Faden.
Eine kurze Anmerkung zur Gruppenoperation und dem zugehoerigen Homomorphismus.
Nimm beispielsweise die Operation von $S$ auf den Nebenklassen $X:= [mm] \{Hx|x\in S\}$. [/mm] Ich kann nun jedem [mm] $g\in [/mm] S$ eine Abbildung [mm] $\phi_{g}:X\to [/mm] X$ zuordnen, indem ich [mm] $\phi_{g}(Hx):= [/mm] Hxg$ setze.
Aus der Definition der Gruppenoperation folgt nun, dass [mm] $\phi_{g}$ [/mm] bijektiv ist, also eine Permutation der Menge $X$ ist, d.h. [mm] $\phi_{g}\in [/mm] S(X)$, wobei $S(X)$ die symmetrische Gruppe der Menge $X$ sei.
Wer jetzt nicht aufpasst, der kriegt die Motten: Ich definiere eine weitere Abbildung [mm] $\phi:G\to [/mm] S(X)$, die [mm] $g\in [/mm] G$ die Permuation [mm] $\phi_{g}$ [/mm] zuordnet: [mm] $\phi(g):= \phi_{g}$.
[/mm]
Es folgt aus der Definition der Gruppenoperation, dass diese Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] ein Homomorphismus von der Gruppe $S$ in die symmetrische Gruppe $S(X)$ ist - wobei die Gruppenoperation die Hintereinanderausfuehrung von Permutationen ist.
Auf diese Art kann man zu jeder Gruppenoperation einen Homomorphismus konstruieren. Und umgekehrt geht es auch: zu einem Homomorphismus [mm] $\phi:S\to [/mm] S(X)$ kann man eine Operation von $S$ auf $X$ konstruieren.
Es stellt sich heraus, dass Operationen auf $X$ und Homomorphismen in $S(X)$ praktisch dasselbe bedeuten.
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Hallo hippias :)
Tut mir leid ich habe es heute leider nicht eher geschafft. Daher habe ich, das mit dem Homomorphismus verstanden, was dieser bewirkt etc! :)
In einer anderen Aufgabe habe ich auch mit solch einem Homomorphismus gearbeitete und auch gewisse Dinge bewiesen.
Jedoch habe ich nun meine Aufgabe wieder betrachtet und überlegt, inwiefern ich mit einem Homomorphismus bzw einer Permutation nun die Aufgabe a lösen soll.
Bei der a soll ich ja beweisen, dass S (nicht-abelsch, einfach) eine echte Untergruppe H besitzt, vom Index n. Wobei halt n >= 5 sein soll.
Mit dem Index n ist doch die Ordnung der Untergruppe gemeint oder? Wenn ich damit richtig liege, dann weiß ich zumindest, dass H somit kein Normalteiler sein kann, da S einfach ist. Weiterhin müsste n die Ordnung von S teilen.
Es scheitert bei mir im Moment daran, dass mir nicht direkt klar ist, wie ich diesen Beweis führe.
Du hattest vorher gemeint, man könnte mit dem Homomorphismus auf [mm] S_n [/mm] kommen, dass ist mir noch unklar, wie du das meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 28.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hippias :)
> Tut mir leid ich habe es heute leider nicht eher geschafft.
> Daher habe ich, das mit dem Homomorphismus verstanden, was
> dieser bewirkt etc! :)
> In einer anderen Aufgabe habe ich auch mit solch einem
> Homomorphismus gearbeitete und auch gewisse Dinge bewiesen.
>
> Jedoch habe ich nun meine Aufgabe wieder betrachtet und
> überlegt, inwiefern ich mit einem Homomorphismus bzw einer
> Permutation nun die Aufgabe a lösen soll.
>
> Bei der a soll ich ja beweisen, dass S (nicht-abelsch,
> einfach) eine echte Untergruppe H besitzt, vom Index n.
> Wobei halt n >= 5 sein soll.
>
> Mit dem Index n ist doch die Ordnung der Untergruppe
> gemeint oder?
Nein. Die Menge S/H der linksnebenklassen und die Menge [mm] H\S [/mm] der Rechtsnebenklassen sind gleichmächtig. Der Index von H ist deren Maächtigkeit.
FRED
> Wenn ich damit richtig liege, dann weiß ich
> zumindest, dass H somit kein Normalteiler sein kann, da S
> einfach ist. Weiterhin müsste n die Ordnung von S teilen.
>
> Es scheitert bei mir im Moment daran, dass mir nicht direkt
> klar ist, wie ich diesen Beweis führe.
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> Du hattest vorher gemeint, man könnte mit dem
> Homomorphismus auf [mm]S_n[/mm] kommen, dass ist mir noch unklar,
> wie du das meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 28.10.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias :)
> Tut mir leid ich habe es heute leider nicht eher geschafft.
> Daher habe ich, das mit dem Homomorphismus verstanden, was
> dieser bewirkt etc! :)
> In einer anderen Aufgabe habe ich auch mit solch einem
> Homomorphismus gearbeitete und auch gewisse Dinge bewiesen.
>
> Jedoch habe ich nun meine Aufgabe wieder betrachtet und
> überlegt, inwiefern ich mit einem Homomorphismus bzw einer
> Permutation nun die Aufgabe a lösen soll.
>
> Bei der a soll ich ja beweisen, dass S (nicht-abelsch,
> einfach) eine echte Untergruppe H besitzt, vom Index n.
> Wobei halt n >= 5 sein soll.
Tatsaechlich?! Die Aufgabenstellung solltest Du Dir aber schon wenigstens einmal durchlesen. Sonst wird das nichts...
>
> Mit dem Index n ist doch die Ordnung der Untergruppe
> gemeint oder? Wenn ich damit richtig liege, dann weiß ich
> zumindest, dass H somit kein Normalteiler sein kann, da S
> einfach ist. Weiterhin müsste n die Ordnung von S teilen.
Siehe Freds Antwort.
>
> Es scheitert bei mir im Moment daran, dass mir nicht direkt
> klar ist, wie ich diesen Beweis führe.
Wie bereits erwaehnt: ich moechte zuerst $S$ in [mm] $S_{n}$ [/mm] einbetten, d.h. zeigen, dass es einen injektiven Homomorphismus [mm] $\phi:S\to S_{n}$ [/mm] gibt. Ich habe Dir die Definition des Homomorphismus im letzten Post gegeben. Du musst nur noch zeigen, dass sein Kern $=1$ ist.
Wenn Du das hast, dann koennte ich Dich fragen, ob Du weisst, dass die [mm] $S_{n}$ [/mm] fuer [mm] $n\leq [/mm] 4$ aufloesbar ist und welche Konsequenzen das fuer eine einfache Untergruppe haette. Damit wird a) erledigt.
Du bist mit den ganzen Definitionen nicht vertraut: das musst Du nacharbeiten!
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> Du hattest vorher gemeint, man könnte mit dem
> Homomorphismus auf [mm]S_n[/mm] kommen, dass ist mir noch unklar,
> wie du das meinst.
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