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| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion und durch indirektem Beweis:
ungerade ==> n² ungerade |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vermutlich keine schwere Aufgabe für euch. Ich bin jedoch Ersti und benötige eure Hilfe.
Der Induktionsanfang ist ja keine Schwierigkeit. Jedoch der Induktionsschritt.
bei n--> n+1
ist ja z.z., dass n+1 ungerade = (n+1)² ungerade
Wenn ich den rechten Teil benutze habe ich:
n+1 ungerade= n²+1 ungerade (mit Induktionsvoraussetzung). Doch wie kann ich diesen Ausdruck zu (n+1)² ungerade umformen? ISt das überhaupt notwendig? Bei der Induktion, die ich bisher gemacht habe, musste ich ja schließlich immer so lange umformen, bis ich zu dem anderen Ausdruck kam (sehr umgangssprachlich formuliert )
Es wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.
Es wäre auch nett, wenn ihr mir sagen könntet, worin der Unterschied zwischen Kontraposition und Widerspruch liegt.
Liebe Grüße
Becci
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zeurst mal ein allgemeiner Tipp:
[mm] n\in\IN\text{ist ungerade}\gdw\exists m\in\IN:2m-1=n [/mm]
Für den direkten Beweis:
n Ungerade
[mm] \Rightarrow [/mm] n=2m-1
Also [mm] n^{2}=(2m-1)^{2}=\ldots
[/mm]
Und bei der Induktion musst du dann die nächste ungerade Zahl nehmen, also wenn n nach Voraussetzzng ungerade ist, ist die nächste ungerade Zahl n+2, also musst du den Ind-Schritt n [mm] \to [/mm] n+2 machen.
Also musst du - unter der Voraussetzung n ist ungerade und [mm] n^{2} [/mm] ebenfalls - zeigen, dass [mm] (n+2)^{2} [/mm] ungerade ist.
Marius
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| Aufgabe | Induktion :
n ungerade <==> n² ungerade |
Wenn ich die Induktion für n--> n+2 durchführe, dann bekomme ich ja, wenn ich die Induktion durchführe vin links:
n+2 ungerade = (mit Induktionsvor.) n²+2 ungerade
kann ich dann einfach folgern, dass dann das quadrat auch ungerade sein muss, oder muss ich durch Umformung auch irgendwie auf den Ausdruck (n+2)² kommen. Wenn jam dann weiß ich nicht wie.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Induktion :
> n ungerade <==> n² ungerade
> Wenn ich die Induktion für n--> n+2 durchführe, dann
> bekomme ich ja, wenn ich die Induktion durchführe vin
> links:
> n+2 ungerade = (mit Induktionsvor.) n²+2 ungerade
Nein du hast Klammern vergessen.
Du weisst, dass n ungerade, also auch [mm] n^{2}
[/mm]
Was passsiert nun mit [mm] (n+2)^{2}, [/mm] das ist ja das Quadrat der auf n folgenden ungeraden Zahl?
Beginne also [mm] (n+2)^{2}=\ldots [/mm] und ziehe dann deine Schlüsse über die drei entstehenden Summanden.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Becci,
> Beweise durch vollständige Induktion und durch indirektem
> Beweis:
> ungerade ==> n² ungerade
interessante Aufgabe 
> Vermutlich keine schwere Aufgabe für euch. Ich bin jedoch
> Ersti und benötige eure Hilfe.
> Der Induktionsanfang ist ja keine Schwierigkeit. Jedoch
> der Induktionsschritt.
> bei n--> n+1
> ist ja z.z., dass n+1 ungerade = (n+1)² ungerade
> Wenn ich den rechten Teil benutze habe ich:
> n+1 ungerade= n²+1 ungerade (mit
> Induktionsvoraussetzung). Doch wie kann ich diesen Ausdruck
> zu (n+1)² ungerade umformen? ISt das überhaupt notwendig?
> Bei der Induktion, die ich bisher gemacht habe, musste ich
> ja schließlich immer so lange umformen, bis ich zu dem
> anderen Ausdruck kam (sehr umgangssprachlich formuliert)
Ja, das müsste hier auch funktionieren:
Die Aussage $A(n)$, die von $n$ abhängt und hier per Induktion zu zeigen ist, lautet so
$A(n):=\ [mm] n\text{ ungerade } \Rightarrow\ n^2\text{ ungerade }$
[/mm]
I.A. $A(1)$: klar
I.V. [mm] $A(\tilde [/mm] n)$ sei wahr für ein [mm] $\tilde [/mm] n$ (und damit für alle [mm] $n\le \tilde [/mm] n$)
I.S. [mm] $\tilde n\to\tilde [/mm] n+1$
z.z. [mm] $A(\tilde [/mm] n+1)=\ [mm] \tilde n+1\text{ ungerade } \Rightarrow\ (\tilde n+1)^2\text{ ungerade }$
[/mm]
Fall [mm] $\tilde [/mm] n+1$ gerade: Dann ist die Aussage [mm] "$\tilde n+1\text{ ungerade } \Rightarrow\ (\tilde n+1)^2\text{ ungerade }$" [/mm] wahr.
Fall [mm] $\tilde [/mm] n+1$ ungerade: Hier ist z.z., dass [mm] $(\tilde n+1)^2\text{ ungerade }$:
[/mm]
[mm] $(\tilde n+1)^2=((\tilde n-1)+2)^2\stackrel{\text{bin. Formel}}{=}\underbrace{(\tilde n-1)^2}_{\text{ungerade nach I.V.}}+4(\tilde [/mm] n-1)+4$
[mm] $=(2m-1)+4(\tilde [/mm] n-1)+4$ mit [mm] $2m-1:=(\tilde n-1)^2$ [/mm] (siehe Bemerkung unter den liegenden geschweiften Klammern)
[mm] $=2(m+2(\tilde [/mm] n-1)+2)-1$
[mm] $=2\tilde [/mm] m-1$ mit [mm] $\tilde m:=m+2(\tilde [/mm] n-1)+2$
also ungerade.
[mm] $\Box$
[/mm]
> Es wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.
Wie schaut es mit dem indirekten Beweis aus?
> Es wäre auch nett, wenn ihr mir sagen könntet, worin der
> Unterschied zwischen Kontraposition und Widerspruch liegt.
Das sind zwei Beweistechniken, mit denen man die Implikation [mm] $A\Rightarrow\ [/mm] B$ zeigen kann:
Kontraposition: [mm] $A\Rightarrow\ [/mm] B$ ist äquivalent zu [mm] $\overline{B}\Rightarrow\ \overline{A}$
[/mm]
In Worten: Statt zu zeigen, dass aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgt, kann man auch zeigen, dass aus der Verneinung von $B$ auch die Verneinung von $A$ folgt.
Beweis durch Widerspruch/indirekter Beweis: Hier nimmt man an, dass [mm] $\overline{B}$ [/mm] und $A$ gilt und führt diese Annahme zum Widerspruch, also zu einer falschen Aussage. Das bedeutet dann, dass die Annahme nicht gelten kann, also $B$ oder [mm] $\overline{A}$ [/mm] gilt, woraus [mm] $A\Rightarrow\ [/mm] B$ folgt.
Liebe Grüße,
Marc
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| Aufgabe | Induktion:
n ungerade <==> n² ungerade |
Vielen Dank für die Antworten.
Ja, was für eine interessante Aufgabe, Marc.
Jetzt nur noch die Frage, warum du (n-1) durch durch 2m-1 ersetzt, da 2m-1 ja nur für n definiert ist?
Und der letzte Ausdruck enthält tatsächlich ein anderes m. Warum?
lg
becci
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Becci,
> Induktion:
> n ungerade <==> n² ungerade
> Vielen Dank für die Antworten.
>
> Ja, was für eine interessante Aufgabe, Marc.
>
> Jetzt nur noch die Frage, warum du (n-1) durch durch 2m-1
> ersetzt, da 2m-1 ja nur für n definiert ist?
Also, ich habe [mm] $(n-1)^\red{2}$ [/mm] durch $2m-1$ ersetzt. Damit habe ich (bzw. wollte ich ) deutlich machen, dass [mm] $(n-1)^2$ [/mm] eine ungerade Zahl ist. Das wusste ich ja bereits an dieser Stelle nach Induktionsvoraussetzung.
> Und der letzte Ausdruck enthält tatsächlich ein anderes
> m. Warum?
Weil der Ausdruck, den ich damit ersetzte, nun mal etwas anderes als $m$ war.
Stoße dich nicht so sehr an den $m$s. Sie sollen nur ausdrücken, dass im Term etwas von dieser Form da stand/steht:
[mm] $2*\text{irgendetwas}-1$
[/mm]
Dafür schreibt man halt kurz
$2*m-1$
Für welchen Term $m$ steht, spielt daber keine Rolle; jeder Term von der Form [mm] $2*\text{irgendetwas}-1$ [/mm] bzw. $2*m-1$ ist nämlich eine ungerade Zahl.
Viele Grüße,
Marc
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