Einfache Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | | Sei [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} \forall n\in \IN. [/mm] Dann ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0. |
Hallo anbei ist eine Beispielaufgabe aus unserer Vorlesung. Ich habe eine Frage zu dem Beweis, den wir dafür gemacht haben:
Der Beweis lautet:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein M [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] \bruch{1}{M} \le \varepsilon. [/mm] Sei N := M + 1. Ist n [mm] \ge [/mm] N, so ist 0 < [mm] \bruch{1}{N} [/mm] < [mm] \bruch{1}{M} \le \varepsilon. [/mm] Also ist der Abstand [mm] \left| \bruch{1}{n} - 0 \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1}{n} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Meine Fragen:
1) Warum brauchen wir hier ein N = M+1.
2) Wieso haben wir diese Ungleichungskette aufgestellt: st n [mm] \ge [/mm] N, so ist 0 < [mm] \bruch{1}{N} [/mm] < [mm] \bruch{1}{M} \le \varepsilon. [/mm] Und warum braucht man hier dieses "M+1"?
Wie immer vielen herzlichen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mi 14.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Sieh es vom Ziel her. Du brauchst das < vor dem [mm] $\epsilon$. [/mm] Ohne das M+1 würde es nur für ein [mm] $\le$ [/mm] reichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:05 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sieh es vom Ziel her. Du brauchst das < vor dem [mm]\epsilon[/mm].
> Ohne das M+1 würde es nur für ein [mm]\le[/mm] reichen.
Nebenbei:
Die Aussagen
(1) zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein M [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] für alle n>M
und
(2) zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein M [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a| \le \varepsilon [/mm] für alle n>M
sind äquivalent.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Do 15.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Vielen Dank. Ich hatte beschlossen, dass ich wieder mal eine Feinheit nicht verstanden habe.
Nun sehe ich das so, dass man das M und M+1 weglassen und es direkt kürzer mit N hinschreiben kann. Wenn aber die von Dir gegebene Äquivalenz nicht gezeigt wurde und die Definition des Grenzwerts mit < formuliert wurde, dann ist das N := M+1 erforderlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank. Ich hatte beschlossen, dass ich wieder mal
> eine Feinheit nicht verstanden habe.
> Nun sehe ich das so, dass man das M und M+1 weglassen und
> es direkt kürzer mit N hinschreiben kann. Wenn aber die
> von Dir gegebene Äquivalenz nicht gezeigt wurde und die
> Definition des Grenzwerts mit < formuliert wurde, dann ist
> das N := M+1 erforderlich.
Nochmal nebenbei:
Die Aussagen
(1) zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 gibt es ein M $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] $ für alle n>M
und
(2) zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 gibt es ein M $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |a_n-a| \le \varepsilon [/mm] $ für alle n>M
und
(3) zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 gibt es ein M $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |a_n-a| \le \varepsilon [/mm] $ für alle n [mm] \ge [/mm] M
und
(4) zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 gibt es ein M $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n [mm] \ge [/mm] M
sind äquivalent.
Gruß FRED
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