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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Einfache Teilbarkeitsaufgabe
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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:17 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Bevor ich hier alle willigen Schülerinnen (das könnten übrigens mal wieder mehr werden ;-)) und Schüler (das sind mittlerweile ja einige, super! [super])durch abgedrehte IMO-Aufgabe verschrecke, hier noch eine elementare (nicht notwendigerweise einfache, aber ihr könnt es hinkriegen!) Teilbarkeitsaufgabe:

Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen

$9 [mm] \, \vert\, (4^n [/mm] + 15n -1)$

gilt.

Viel Spaß!

Liebe Grüße
Stefan

        
Bezug
Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Meine Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Fr 27.08.2004
Autor: Hanno

Hiho.
Für [mm]4^n[/mm] gilt:
Falls [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 4\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 7\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
Dann wiederholt sich der Rest zyklisch.
Für [mm]15n[/mm] gilt:
Falls [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 6\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 3\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 0\pmod{9}[/mm]

Addieren wir die Reste für die einzelnen Fälle, so erhalten wir:
[mm]n\equiv 0\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
[mm]n\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
[mm]n\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]

Da nun noch durch den Summanden [mm]-1[/mm] der Rest um eins verringert wird, ist der Term immer durch Neun teilbar, q.e.d.

Gruß,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Meine Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

>  Für [mm]4^n[/mm] gilt:
>  Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 4\pmod{9}[/mm]
>  Falls
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 7\pmod{9}[/mm]
>  Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm],
> dann [mm]4^n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>  Dann wiederholt sich der Rest
> zyklisch.

[ok]

>  Für [mm]15n[/mm] gilt:
>  Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 6\pmod{9}[/mm]
>  Falls
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 3\pmod{9}[/mm]
>  Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm],
> dann [mm]15n\equiv 0\pmod{9}[/mm]

[notok]

Hier hast du einiges durcheinandergeworfen, vermutlich Schusseligkeit. ;-)

Magst du es selber korrigieren?
  

> Addieren wir die Reste für die einzelnen Fälle, so erhalten
> wir:
>  [mm]n\equiv 0\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>  
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>  
> [mm]n\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>  
> Da nun noch durch den Summanden [mm]-1[/mm] der Rest um eins
> verringert wird, ist der Term immer durch Neun teilbar,
> q.e.d.

Sehr schön gemacht!! [banane] Wenn du deine Fehler oben noch verbessert, lasse ich das als Musterlösung so stehen (auch wenn ich es selber anders gerechnet habe).

Liebe Grüße
Stefan  


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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Meine Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Fr 27.08.2004
Autor: Hanno

Hi Stefan.
Sorry, habe nur die Reste verdreht.

Ich änder's ab.

Gruß,
Hanno

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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Meine Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Jetzt stimmt es, sehr gut!

Sehr elegant, deine Lösung!! :-)

(Gefällt mir eigentlich besser als die von Jan und mir. Auch wenn sich hier, rein formal (das habe ich Fermat gerade auch bestätigt) eine Induktion einfach anbietet.)

Liebe Grüße
Stefan

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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Fr 27.08.2004
Autor: zzm

Loesungsvorschlag mit 2x vollstaendiger Induktion:
[mm]A(n)=4^n +15n-1[/mm]

I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^1 +15\*1 -1=18[/mm], also korrekt.
I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]A(n+1) - A(n)[/mm], also
[mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^{n+1} +15(n+1)-1 - (4^n +15n-1)=4^{n+1} - 4^n +15=(4-1)*4^n +15= 3* 4^n +15 [/mm]

Nun zeige ich wieder auf die gleiche Weise mit v.I.:
[mm]9[/mm] teilt [mm]B(n)=3* 4^n +15[/mm]:
I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] teilt [mm](12 +15)[/mm], das ist korrekt
I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]B(n+1) - B(n)[/mm], also
[mm]9[/mm] [teilt] [mm]3* 4^{n+1} +15 - (3* 4^n +15)= 3*(4^{n+1}-4^n)=3*(3*(4^n)=9*4^n [/mm], das ist offensichtlich richtig, somit teilt 9 immer B(n) und daraus folgt, dass 9 auch immer A(n) teilt.
Ich hoffe mal ich hab kein Fehler gemacht.
(Auf diese Weise sieht man glaub ich, dass alle [mm]3^x[/mm] Teiler von A(n) sind, solange dass n von A(n) gross genug ist)

Gruss,
zzm

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Bezug
Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Hallo zzm!

Falls du neu hier bist (ich glaube ja ;-)): [willkommenmr]

Eine sehr schöne Lösung! Sie ist meiner sehr ähnlich. :-)

> Loesungsvorschlag mit 2x vollstaendiger Induktion:
>  [mm]A(n)=4^n +15n-1[/mm]
>  
> I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^1 +15\*1 -1=18[/mm], also korrekt.
>  I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]A(n+1) - A(n)[/mm], also
>  [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^{n+1} +15(n+1)-1 - (4^n +15n-1)=4^{n+1} - 4^n +15=(4-1)*4^n +15= 3* 4^n +15[/mm]

[daumenhoch]
  
Bis dahin habe ich alles genauso gemacht. Jetzt kannst du aber schneller wie folgt argumentieren:

$3 [mm] \cdot 4^n [/mm] + 15 = [mm] 3\cdot (4^n [/mm] +5)$

und es gilt:

[mm] $4^n [/mm] + 5 [mm] \equiv 1^n [/mm] +2 [mm] \equiv [/mm] 1+2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$, [/mm]

also:

[mm] $3\, \vert\, (4^n+5)$ [/mm]

und damit:

$9 [mm] \, \vert\, (3\cdot 4^n [/mm] + 15)$.

Aber das hier...

> Nun zeige ich wieder auf die gleiche Weise mit v.I.:
> [mm]9[/mm] teilt [mm]B(n)=3* 4^n +15[/mm]:
>  I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] teilt [mm](12 +15)[/mm], das
> ist korrekt
>  I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]B(n+1) - B(n)[/mm], also
>  [mm]9[/mm] [teilt] [mm]3* 4^{n+1} +15 - (3* 4^n +15)= 3*(4^{n+1}-4^n)=3*(3*(4^n)=9*4^n [/mm],
> das ist offensichtlich richtig, somit teilt 9 immer B(n)
> und daraus folgt, dass 9 auch immer A(n) teilt.
>  Ich hoffe mal ich hab kein Fehler gemacht.
>  (Auf diese Weise sieht man glaub ich, dass alle [mm]3^x[/mm] Teiler
> von A(n) sind, solange dass n von A(n) gross genug ist)

ist auch richtig!!

Super gemacht!! [huepf] [respekt] [super] [respekt] [huepf]

Liebe grüße
Stefan


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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Fr 27.08.2004
Autor: Fermat2k4

Hi Leute,

ich dürfte ja mittlerweile hier als Induktivist bekannst sein, also ...
Naja, dieses Beispiel ist doch geradezu prädestiniert  zur Beweisführung durch Induktion.

Gruß

Alex

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Einfache Teilbarkeitsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Fr 27.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Alex!

>  Naja, dieses Beispiel ist doch geradezu prädestiniert  zur
> Beweisführung durch Induktion.

Ja, das stimmt, in diesem Fall gebe ich dir recht. :-)

Das hat zzm ja auch sehr schön gemacht.

Liebe Grüße
Stefan

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