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Forum "Differentialgleichungen" - Einfaches Schießverfahren
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Einfaches Schießverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Sa 08.05.2010
Autor: bezauberndejeany

Aufgabe
Die Randwertaufgabe
[mm] \[ u''(t)=100*u(t)\] [/mm] mit [mm] \[u(0)=1\] [/mm] und [mm] \[u(3)=e^{-30}\] [/mm]
soll mit dem einfachen Schießverfahren gelöst werden. Dazu berechnet man die Lösung [mm] \[u(t,s)\] [/mm] der Anfangswertaufgabe
[mm] \[ u''(t)=100*u(t)\] [/mm] mit [mm] \[u(0)=1\] [/mm] und [mm] \[u'(0)=s\], [/mm]
und bestimme [mm] \[s=\overline{s}\] [/mm] so, dass [mm] \[u(3,\overline{s})=e^{-30}\] [/mm] wird.

Ich verstehe das Schießverfahren leider überhaupt nicht. Bisher habe ich das gemacht:

Umformung in System 1. Ordnung
[mm] y_{1}=u \qquad \qquad \qquad y'_{1}=y_{2} [/mm]
[mm] y_{2}=y'_{1}=u' \qquad \qquad y'_{2}=100*y_{1} [/mm]

Nullstellenaufgabe:
[mm] F(s)=u(3,s)-e^{-30}=0 [/mm]

$u(3,s)$ mit $s=0$ mit explizitem Euler und Schrittweite $h=1$ berechnet:
[mm] u_{0}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 100} [/mm] und [mm] u_{2}=\vektor{101 \\ 200} [/mm] und [mm] u_{3}=\vektor{301 \\ 10300} [/mm]
also $u(3,0)=301$ und damit [mm] F(s)=301-e^{-30}=0 [/mm]

Jetzt weiß ich nicht mehr wie weiter. Ich habs mal so probiert:
[mm] F(s)=u(3,s)-e^{-30}, [/mm] also [mm] F'(s)=\bruch{d}{ds}u(3,s) [/mm]
[mm] \bruch{d}{ds}u''(3,s)=100*\bruch{d}{ds}u(3,s), [/mm] also [mm] \bruch{d}{ds}\bruch{d^{2}}{dt^{2}}u(3,s)=100*\bruch{d}{ds}u [/mm] und [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}}\underbrace{\bruch{d}{ds}u(3,s)}_{w}=100*\underbrace{\bruch{d}{ds}u(3,s)}_{w} [/mm]
ergibt $w''=100*w$ mit Anfangsbedingungen $w'(0)=1$ und $w(0)=0$

Weiter komme ich nicht :( Vielleicht kann mir jemand helfen? Wo soll ich denn nun Newton anwenden fürs Nullstellenproblem? Wie mache ich weiter? Wo kann ich denn solche Beispiele im Internet finden? Ich brauche ein Beispiel an einer simplen DGL.

Danke schonmal!

        
Bezug
Einfaches Schießverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 08.05.2010
Autor: zahllos

Hallo,

eine Beschreibung des einfachen Schießverfahrens mit einem Beispiel findest du z, B. in Stoer Bulirsch, Einführung in die numerische Mathematik II Abschnitt 7.3.1. Dort steht auch deine Aufgabe, allerdings ohne Lösung.

Zu deiner Frage nach den Newton Verfahren, das brauchst du für die Lösung der nichtlinearen Gleichung
F(s) = 0.

Ich werde mir mal was zu deinem Problem überlegen, aber das dauert ein wenig, ich werde dir heute Abend antworten. Ich hoffe das reicht dir.



Bezug
        
Bezug
Einfaches Schießverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Sa 08.05.2010
Autor: zahllos

Guten Abend,

jetzt habe ich etwas mehr Zeit für deine Aufgabe. Du bist schon auf dem richtigen Weg:

- du wandelst das Randwertprobelm in ein System von DGL'S erster Ordnung um

- du integrierst dieses System mit dem Eulerverfahren (irgend ein anderes Verfahren ginge auch),
aber ich denke deine Schrittweite h=1 ist ein bißchen sehr groß

- du stellst die Gleichung für das Newton-Verfahren auf: [mm] F(s)=u(3;s)-e^{-30}=0 [/mm]

Für die Durchführung des Verfahrens brauchst du noch F'(s).
Du hast hergeleitet, dass diese Ableitung durch die Funktion w,
die die DGL w'' = 100w mit den Anfangsbedingungen w(0)=0 und w'(0)=1 erfüllen muß, gegeben ist.

Also mußt die jetzt die DGL w''=100w mit diesen Anfangsbedingungen integrieren. Es ist w(3)=F'(s)

Damit bekommst du aus der Beziehung [mm] s_{neu}=s-\frac{F(s)}{F's)} [/mm] einen neuen Startwert für die Ableitung.

Diesen Vorgang wiederholst du, bis du die Anfangssteigung genau genug zu  ermittelt hast.

(Übrigens: Die Lösung deiner DGL ist [mm] u(x)=e^{-10x} [/mm] d.h. die optimale Anfangssteigung ist s=-10 )

Bezug
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