Einführung Binomische Formel < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Und hier auch gleich meine nächste Lehrprobe, bei der ich unsicher bin.
Meine Stunde wird zur Erarbeitung der ersten Binomischen Formel sein.
Da ich wieder problemorientiert einsteigen muss/sollte, habe ich mir überlegt, dass ich über den Flächeninhalt einsteige (Gartenfläche von Herr Meier)
Die Schüler sollen verschiedene Wege finden, wie man dieses Gesamtfläche berechnen kann. (a+b)² oder eben alle Flächeninhalte addieren. |
Da ergibt sich das Problem was aus mangelnder Ideenlosigkeit rührt.
Ich weiß nicht so recht, wie ich strukturiert vorgehen soll bzw die Schüler vorgehen sollen.
Aufgabe: Fläche des Gartengrundstückes soll berechnet werden.
Gebe ich nun vor, dass sie alle Teilstücke berechnen sollen? Wie gestalte ich die Ergebnissicherung, dass dort die Binomische Formel "versteckt" ist?
Gebe ich neben einem Arbeitsblatt konkrete Anweisungen einzelne Teilstücke zu berechnen oder gebe ich sogar die Fläche zum legen in die Gruppen?
Mit dem Thema Gleichungen und Formeln habe ich mich arg gestritten.
Für Ideen wäre ich daher dankbar!
Gruß
Maulwurfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Oder macht es doch ehr Sinn damit einzusteigen, dass "Max" so viele Hausaufgaben auf hat nach dem Schema (3+a)(a+3) und die Schüler beim Ausmultiplizieren ein Schema erkennen, was das Rechnen erleichtert?
Da ist aber wieder das Problem: Die Schüler kommen auf a²+2ab+b² aber nicht auf den Ausdruck (a+b)²
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 05.09.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Maulwurfen!
> Da ist aber wieder das Problem: Die Schüler kommen auf
> a²+2ab+b² aber nicht auf den Ausdruck (a+b)²
Dann beginne mit dem Ausdruck [mm] $(a+b)^2$. [/mm] Es gilt
[mm] \red{(a+b)^2}=(a+b)*(a+b)=\ldots=\red{a^2+2ab+b^2}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Guten Tag Maulwurfen
mangelnde Ideenlosigkeit: das ist ja suuuper !
Vielleicht hast du aber doch etwas anderes gemeint,
etwa den Mangel eines Konzeptes, um diverse
Ideenansätze, die da so im Raum rumschwirren,
zu einem konkreten didaktischen Ansatz zu verdichten.
Du fühlst dich irgendwie gedrängt, einen geometrisch
eigentlich ganz einfach einsichtigen Zusammenhang
so zu präsentieren, dass du damit sowohl für die
Schülerinnen und Schüler der Probeklasse und noch
mehr für den der Probelektion beiwohnenden Experten
eine lockere Show mit einem anscheinenden "Problem"
und dessen eleganter Lösung vorführen kannst.
Anstatt detaillierte Anweisungen für die Gestaltung
der Lektion möchte ich dir nur den Ratschlag geben,
einen möglichst einfachen Weg zu gehen, etwa mit
der Frage, wie sich der Flächeninhalt eines vorgegebenen
Quadrates verändert, wenn man die Seitenlänge des
Quadrates um ein wenig vergrößert. In welcher Weise
du diese Frage anschaulich "einkleidest", steht dir auch
absolut frei. Ob du dabei an ein quadratisches Gartenbeet,
quadratische Wand- oder Bodenfliesen oder an ein Wohn-
zimmer mit quadratischem Grundriss denkst, ist einerlei.
Mache es aber nicht zu "blumig", damit am Ende doch
der mathematische Kern als wesentlicher Inhalt stehen
bleibt !
LG und viel Erfolg !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Herr Meier hat vor Jahren sein ursprüngliches quadratisches Grundstück um die beiden eingezeichneten Flächen erweitern können. Berechne den Flächeninhalt des neuen Grundstücks.
Endlich gelingt es ihm, die fehlende Ecke rechts unten auch noch dazuzukaufen. Wie groß ist das Grundstück jetzt? Stelle das Ergebnis mit und ohne Hilfe deiner ersten Berechnung dar.
Jetzt gehst du dazu über, aus 30 m die Länge a und aus 4 m die Länge b zu machen. Wie sehen die Rechnungen dann aus?
So gelangst du zur 1. bin. Formel.
Danach bringst du maximal 3 Zahlenbeispiele für [mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] als Überprüfung, ebenso z.B. [mm] 21^2=20^2+2*20+1^2=441 [/mm] im Kopf.
Dann könntest du noch einen algebraischen Beweis bringen in der Form
[mm] (a+b)^2=(a+b)(a+b)=(a+b)*x [/mm] mit x=(a+b)
[mm] =a*x+b*x=a*(a+b)+b*(a+b))=a*a+a*b+b*a+b*b=a^2+2ab+b^2
[/mm]
unter anschließendem Hinweis auf das Distributiv- und Kommutativgesetz.
Falls nicht zu schwer, dann noch [mm] (3a+4b)^2 [/mm] usw.
Weise die Schüler darauf hin, dass (normalerweise) [mm] (a+b)^2 \ne a^2+b^2 [/mm] ist. Bring Beispiele!
Vielleicht nimmst du noch den schönen Spruch zur Hilfe:
[mm] (klim+bim)^2=(klim)^2+2klimbim+(bim)^2.
[/mm]
(Warum habe ich klim und bim mal in Klammern gesetz und mal nicht?)
Suche nun einige schöne Beispiele in Mathebüchern zum üben.
Bitte nicht die 2. und 3. bin. Formel in derselben Stunde. Das verwirrt und bringt die Schüler durcheinander. Falls ein Schlauberger so etwas fragt, vertröste ihn auf die nächste Stunde und fordere ihn auf, dass er sich zu Hause mal selber versuchen soll, es heraus zu bekommen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für alle eure Antworten. Das bringt schonmal mehr Klarheit in meinen Kopf.
Die Textaufgabe finde ich sehr gut. Und man kann daran wunderbar die Binomische Formel erarbeiten.
Bloß schwanke ich zwischen 2 Möglichkeiten. Die Binomische Formel schließt an die Einheit "Multiplizieren" von Summen an. Ist es da angebracht über den Flächeninhalt einzusteigen? Oder doch lieber einige Summen zu Multiplizieren und daraus ein "schema" zu erkennen? Was ist eure Meinung dazu?
Ich mache mir wohl zu viele Gedanken darüber, was meine Seminarleiterin vielleicht kritisieren könnte ^^
Grüße
Maulwurfen
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich würde die geometrische Lösung über Flächen vorziehen.
Dadurch hast du direkt wahrnehmbare Objekte, nämlich die Flächen, und musst nicht mit abstrakten Zahlen hantieren.
Dazu kommt noch, dass die 2.binomische Formel sich dann fast von allein ergibt, entsprechend
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beste Grüße
stpolster
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 05.09.2016 | | Autor: | Maulwurfen |
Da hast du wohl Recht, dass diese Variante für die Schüler anschaulicher und besser verständlich ist als reine Multiplikation von Summen.
Die Erleichterung beim Rechnen, die die Binomische Formel bietet, könnte man dann ja in der Übungsphase anschließen.
Vielen Dank für den Hinweis!
Maulwurfen
|
|
|
| |
|
Kann mir noch jemand einen Lebensweltbezug der binomischen Formel für die Schüler nennen?
Meine Idee ist, dass sie das algebraische Verständnis fördert und beim Ausmultiplizieren von Summen eine Rechenerleichterung darstellt. Zudem ist diese Formel beim Lösen von quadratischen Gleichungen relevant.
Das ist aber kein direkter Bezug zur Lebenswelt. Hat da jemand noch eine Idee?
Gruß
Maulwurfen
|
|
|
| |
|
Hallo,
Vorsicht vor ständigen Fragen "Wozu brauche ich die eine oder andere Gleichung/Beziehung in meinem täglichen Leben?"
Das führt dazu, dass unsere "lieben" Schüler an jeder passenden und unpassenden Stelle diese Frage stellen; zum einen um den Lehrer zu verwirren und zum anderen mit dem Hintergedanken: "Wozu muss ich den Blödsinn lernen?"
Für eine Vielzahl grundlegender mathematischer Beziehungen, d.h. auch für die binomischen Formeln, gilt, dass man sie einfach können muss, damit man in den nächsten Schuljahren noch eine Chance haben will.
Natürlich gibt es innermathematische Anwendungen, die wichtig sind. Insbesondere betrifft das die Richtung a² + 2ab + b² = (a+b)², u.a. bei der quadratischen Ergänzung und der Herleitung der Lösungsformel quadratischer Gleichungen.
Bei der 3.binomischen Formel gibt es immerhin noch den "Trick", das Kopfrechnen zu beschleunigen, z.B. rechnet man bei 59 * 61 eben (60-1)*(60+1). Kennt man die 3.Formel, wird sofort 60²-1² = 3599 daraus.
Natürlich kann man das auch auf die 1. und 2. beziehen, mit etwas mehr Aufwand.
42² wird (40+2)² und dann (im Kopf!) 40² + 2*40*2 + 1² usw.
Sollte also die Frage nach der Anwendung kommen, so würde ich nur auf die Bedeutung innerhalb der Mathe verweisen. Mehr sehe ich nicht.
Beste Grüße
stpolster
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich würde die geometrische Lösung über Flächen
> vorziehen.
> Dadurch hast du direkt wahrnehmbare Objekte, nämlich die
> Flächen, und musst nicht mit abstrakten Zahlen hantieren.
> Dazu kommt noch, dass die 2.binomische Formel sich dann
> fast von allein ergibt, entsprechend
[Dateianhang nicht öffentlich]
Guten Abend stpolster
deine Zeichnung zur Herleitung der "zweiten" Formel ist
falsch oder zumindest nicht klar verständlich.
Es sieht so aus (jedenfalls lese ich das so aus der Zeichnung
mit ihren Beschriftungen ab), als ob die beiden kleinen
(weiß gefärbten) Rechtecke je den Flächeninhalt $\ a*b$ hätten.
Das stimmt aber nicht: diese Rechtecke haben je den
Flächeninhalt $\ (a-b)*b$ !
Die Rechtecke, die du aber betrachten möchtest (so stelle
ich mir das jedenfalls vor) und je den Flächeninhalt $\ a*b$
haben, überlappen sich gegenseitig in der gelb dargestellten
Quadratfläche mit dem Inhalt $\ [mm] b^2$ [/mm] . Wegen dieser Überlappung
kommt man dann ja auch erst dazu, dass man die im Term
$\ [mm] a^2\,-\,2*a*b$ [/mm] einmal zuviel subtrahierte Fläche $\ [mm] b^2$ [/mm] wieder
addieren muss, so dass man am Schluss beim Ergebnis
$\ [mm] a^2\,-\,2*a*b\,+\,b^2$ [/mm] ankommt.
LG und schönen Abend
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> Ich mache mir wohl zu viele Gedanken darüber, was meine
> Seminarleiterin vielleicht kritisieren könnte ^^
Es gibt einen Cartoon über die Lehrprobe eines Referendars im Schuldienst, der geht so: Der Referendar legt in der Zirkusmanege eine halsbrecherische Elefantendressur hin. Er lässt das riesige Tier mit dem Rüssel auf Sektgläsern balancieren, die auf einem rechteckigen Tischchen stehen. Das Kunststück gelingt. Daraufhin sagt der Prüfer, der als Zuschauer am Manegenrand sitzt: "Hm, und warum haben Sie keinen runden Tisch genommen?"
![[]](/images/popup.gif) Lehrprobe ohne runden Tisch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Aus welchem Grund lässt du bei der ersten Berechnung das kleine Quadrat weg? Das ist mir nicht klar.
Gruß
Maulwurfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Do 15.09.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Ich verzweifele so langsam an diesem Thema. Ich habe den Rat befolgt und die Aufgaben so als ArbeitsBlatt gestaltet. meine Mentorin meint nun din Stunde hat keinen sinn. zur Berechnung von dem Grundstück braucht man keine binomische formel. man sieht bei der Aufgabe keinen Sinn warum die Schüler die formel brauchen und was sie damit berechnen sollen.
Nun bin ich wieder bei null und ideenlos.
Maulwurfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 19.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann nimm als Motivation
wie oben schon gesagt die Umkehrung, denn wenn man Klammern gut multiplizieren kann ist ja [mm] a^2+ab+ba+b^2 [/mm] kaum länger, die Formel also kein großer gewinn!
das nennt man dann didaktische Analyse des Problems, es ist keins für S, die Klammern rechnen können!
dass man um Grundstücke auszurechnen nicht die bin. Formel bemühen wird hat deine Mentorin recht.
aus I: [mm] (x+2)^2=9 [/mm] können die S. leicht x ausrechnen.
aus II. [mm] x^2+4x+4=9 [/mm] nicht so leicht.
dann in I die Klammer auflösen.
dann allgemeiner [mm] (x+a)^2=b^2
[/mm]
wenns unbedingt vorwärts sein muss erzähl die Geschichte von einem Schnellrechner
der schneller als das Eintippen in den TR
und 1002 ^2 oder [mm] gar3004^2 [/mm] und weitere Beispiele konnte
jetzt sieht man den Nutzen. oder eben [mm] 51^2
[/mm]
[mm] 32^2 [/mm] kannst du schnell im Kopf rechnen
ich würde auch in derselben Stund noch [mm] (a-b)^2 [/mm] einführen, das ist ja nicht eigentlich anderes wenn du es als a+(-b) schreibst!
wieder motiviert wie oben oder durch den Rechenkünstler der nun auch [mm] 998^2 [/mm] usw kann.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Sa 10.09.2016 | | Autor: | hippias |
Um die Schüler darauf zu stossen die Quadratfläche auf zwei unterschiedliche Arten zu berechnen, könnte man voraussetzen, dass die $4$ Teilflächen einen unterschiedlichen Preis haben (wobei die beiden Rechtecke jeweils gleichviel kosten?) und zusätzlich nach dem neuen Quadratmeterpreis fragen.
Im übrigen finde ich den Aufwand, der um die binomischen Formeln getrieben wird, immer etwas etwas übertrieben, da es ja nur eine Anwendung des Themas Multiplikation von Summen ist: wenn man das verstanden hat, sind diese Formeln im Grunde überflüssig. Ich würde die Stunde vielleicht mit den Worten "Heute werden wir eine kleine Anwendung des Themas der letzten Stunden durchführen" eröffnen.
|
|
|
| |
|
Mein großes Problem ist einfach : einmal rechnen die Schüler alle Teilstücke zusammen [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] und bei der 2.Möglichkeit rechnen sie (a+b)(a+b) was ja das gleiche ergibt.
Wenn ich das in der Gruppe nach dem Prinzip Ich-Du-Wir erarbeiten lasse, wie sieht dann die Ergebnispräsentation aus? damit haben die Schüler ja zweimal [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] erarbeitet auf verschiedene Arten..Aber das ist ja noch nicht die binomische formel! und die Schüler sehen auch nicht den nutzen der rechenerleichterung durch die geometrische Erarbeitung.
Das Thema ist für eine Lehrprobe sehr ätzend
|
|
|
| |
|
Nein, es besteht ZUNÄCHST keine rechnerische Erleichterung durch die bin. Formel, im Gegenteil: bei [mm] (a+b)^2 [/mm] hast du nur 2 Rechenoperationen durchzuführen (erst +, dann *), bei [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] dagegen 6 (4 mal *, 2 mal +). Somit bietet es sich an, die Klammer nicht aufzulösen, sondern zu bilden, was aber aus [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] bei komplizierteren Ausdrücken zunächst gar nicht ohne Übung geleistet werden kann.
Somit:
Du lässt erst mal nur klarstellen, dass [mm] (a+b)^2 [/mm] offenbar dasselbe ergibt wie [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] und überprüfst das an 2-3 Beispielen.
Dann kannst du sogar das Ganze hinsichtlich des obigen Einwandes bewerten lassen (Klammer ist einfacher).
Dann gibst du 2-3 Zahlen(!)-Beispiele vor, wo sich das gerade umgekehrt verhält:
[mm] 51^2=(50+1)^2
[/mm]
[mm] 10,5^2=(10+0,5)^2
[/mm]
[mm] (12+\bruch{1}{6})^2
[/mm]
Und dann schnelleres Klammernauflösen:
[mm] (x+4)^2.
[/mm]
Dabei kannst du immer Gruppen bilden, die verschiedene Rechenwege einschlagen sollen, und dann sowohl Rechenzeiten als auch Fehler miteinander vergleichen.
Am Ende kannst du wieder bewerten lassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 11.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
man sollte die binomische Formel nicht überbewerten, wenigstens nicht in der Richtung [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
[/mm]
1. die geometrische Deutung ist nett, bringt aber nicht viel für irgendwelche Anwendungen, selbst wenn man sie anfangs benutzt vergessen sie die S. schnell wieder, da sie ja nie benutzt wird.
da deine S schon Klammern multiplizieren können, ist der direkte Weg schneller. Dein Frage verstehe ich nicht, sowohl rechnerisch als auch geometrisch haben die S doch die Gleichheit [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] gezeigt?
3. um irgendwie zu zeigen wozu das nützlich ist, sollte bald auf das umgekehrte eingegangen werden, das zeigt wenigstens Anwendung innerhalb der M.
also zb, [mm] x^2+6x+9=16
[/mm]
oder [mm] 4x^2+12x+9=25
[/mm]
als Merkhilfe schätzen Schüler oft
[mm] (bim+bam)^2=bimqua+bamqua+ [/mm] 2 bimbam
oder [mm] (Glas+Bier)^2=..
[/mm]
oder ähnlichen Quatsch.
Gruß leduart
|
|
|
|
